From Gaussian Least Squares Approximation to Operator-Theoretic Regularization of Ill-Posed Problems
Das Ziel dieses Beitrages ist es, die Pionierdimension der Gaußschen Methodik der Kleinste-Quadrate-Approximation zu dokumentieren und ihre Vermittlerrolle hin zu heutigen Regularisierungsprozessen von Pseudoinversen in schlecht-gestellten inversen Proble
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Contents 1
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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Gauss’s Historic Role and Influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Reasons for the Least Squares Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Gaussian Adjustment Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Helmert’s Contribution to the Adjustment Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Historic Thinking About the Origin of the Pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pseudoinverse for Finite Dimensional Matrix Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Spectral Matrix Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ill-Conditioned Matrix Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Matricial Pseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Continuous Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Truncated Singular Value Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Tikhonov Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Functional Analytical Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Well-Posedness in the Sense of Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Pseudoinverse for Infinite Dimensional Operator Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Weighted Least Squares Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Singular Value Decomposition for Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Picard Condition and Pseudoinverse in Compact Operator Framework . . . . . . . . . .
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This chapter is part of the series Handbuch der Geodäsie, volume “Mathematical Geodesy/Mathematische Geodäsie”, edited by Willi Freeden, Kaiserslautern. W. Freeden () Department of Mathematics, University of Kaiserslautern, Kaiserslautern, Germany E-Mail: [email protected]; [email protected] B. Witte Institute for Geodesy and Geoinformation, University of Bonn, Bonn, Germany E-Mail: [email protected] © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 W. Freeden, R. Rummel (Hrsg.), Handbuch der Geodäsie, Springer Reference Naturwissenschaften, https://doi.org/10.1007/978-3-662-46900-2_94-1
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W. Freeden and B. Witte
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