Galois coinvariants of the unramified Iwasawa modules of multiple $$\mathbb {Z}_p$$ Z p -extensions
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Galois coinvariants of the unramified Iwasawa modules of multiple Zp -extensions Takashi Miura1 · Kazuaki Murakami2 · Keiji Okano3
· Rei Otsuki4
Received: 25 April 2020 / Accepted: 21 October 2020 © Fondation Carl-Herz and Springer Nature Switzerland AG 2020
Abstract be a certain multiple Z p -extension For a CM-field K and an odd prime number p, let K of K . In this paper, we study several basic properties of the unramified Iwasawa module as a Z p Gal( K /K )-module. Our first main result is a description of the order X K of K of a Galois coinvariant of X K in terms of the characteristic power series of the unramified Iwasawa module of the cyclotomic Z p -extension of K under a certain assumption on the splitting of primes above p. The second result is that if K is an imaginary quadratic field and if p does not split in K , then, under several assumptions on the Iwasawa λ-invariant and the ideal class group of K , we determine a necessary and sufficient condition such that X K is /K )-cyclic. Here, K is the Z2p -extension of K . Z p Gal( K Keywords Multiple Z p -extensions · Iwasawa modules · Characteristic ideals. Mathematics Subject Classification 11R23 Résumé une certaine Z p -extension Pour un corps CM K et un nombre premier impair p, soit K multiple de K . Dans cet article, nous étudions plusieurs propriétés de base du module X K
B
Keiji Okano [email protected] Takashi Miura [email protected] Kazuaki Murakami [email protected] Rei Otsuki [email protected]
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Department of Creative Engineering, National Institute of Technology, Tsuruoka College, 104 Sawada, Inooka, Tsuruoka, Yamagata 997-8511, Japan
2
Department of Mathematical Sciences, Graduate School of Science and Engineering, Keio University, Hiyoshi, Kohoku-ku, Yokohama, Kanagawa 223-8522, Japan
3
Department of Teacher Education, Tsuru University, 3-8-1 Tahara, Tsuru-shi, Yamanashi 402-0054, Japan
4
Department of Mathematics, Keio University, 3-14-1 Hiyoshi, Kouhoku-ku, Yokohama 223-8522, Japan
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T. Miura et al.
en tant que Z p Gal( K /K )-module. Notre premier résultat d’Iwasawa non ramifié de K principal est une description de l’ordre d’un coinvariant de Galois de X K en termes de la série des puissances caractéristique du module d’Iwasawa non ramifié de la Z p -extension cyclotomique de K sous une certaine hypothèse sur la décomposition des idéaux premiers au-dessus de p. Un deuxième résultat est que, si K est un corps quadratique imaginaire et si p ne se factorise pas en K , alors, sous plusieurs hypothèses sur l’invariant λ d’Iwasawa et le groupe des classes d’idéaux de K , nous déduisons une condition nécessaire et suffisante /K )-cyclique. Ici K est la Z2p -extension de K . pour que X K soit Z p Gal( K
1 Introduction 1.1 The unramified Iwasawa modules Let p be an arbitrary prime number, K a finite extension of the rational number field Q and K ∞ /K the cyclotomic Z p -extension. For an arbitrary algebraic number field F, we denote by X F the Galois group of the max
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