Projektive Geometrie Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen
Dieses Lehrbuch präsentiert projektive Geometrie, ein wichtiges klassisches Gebiet der Mathematik, in neuem Gewand: Ein Akzent liegt auf überraschenden und wichtigen Anwendungen von Geometrie in Codierungstheorie und Kryptographie. Dazu werden alle benöti
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Projektive Geometrie
vieweg studium _ _ _ _ _ _______. Aufbaukurs Mathematik Herausgegeben von Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann und Gisbert Wustholz Martin Aigner Diskrete Mathematik Walter Alt Nlchtllneare Optlmlerung Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum Projektlve Geometrle Gerd Fischer Ebene algebralsche Kurven Wolfgang Fischer und lngo Lieb Funktlonentheorle Otto Forster Analysis 3 Klaus Hulek Elementare Algebralsche Geometrle Horst Knorrer Geometrle Helmut Koch Zahlentheorle Ulrich Krengel Elnfuhrung In die Wahrschelnllchkeltstheorle und Statlstlk Wolfgang Kuhnel Dlfferentlalgeometrle Ernst Kunz Elnfuhrung In die algebralsche Geometrle Werner Liitkebohmert Codlerungstheorle Reinhold Meise und Dietmar Vogt Elnfuhrung in die Funktlonalanalyse Erich Ossa Topologle Jochen Werner Numerische Mathematik I und II Jiirgen Wolfart Elnfuhrung In die Zahlentheorie und Algebra
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Albrecht Beutelspacher Ute Rosenbaum
Projektive Geometrie Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen
2., durchgesehene und erweiterte Auflage
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Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber abrufbar.
Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher Justus-Liebig-Universitat GieBen Mathematisches Institut ArndtstraBe 2 35392 GieBen E-Mail: [email protected] Dr. Ute Rosenbaum Siemens AG 81737 Mtinchen E-Mail: [email protected]
1. Auflage 1992 2., durchgesehene und erweiterte Auflage Februar 2004
Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagj GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielf Blockmenge il2 und Inzidenzmenge I. Dann hat die zu G duale Geometrie GI1 die Punktmenge il2, die Geradenmenge ill> wobei zwei Elemente aus Gl1 genau dann inzident sind, wenn sie schon als Elemente von G inzident waren. Es ist klar, dass (GI1)11 = Gist. 1.2.2 Satz (Dualititsprinzip) Sei X eine Klasse von Geometrien vom Rang 2. Wenn X mit jeder Geometrie Gauch die zu G duale Geometrie GI1 enthiilt, so gilt: Wenn A eine Aussage ist, die fUr aile G aus X richtig ist, so ist auch AI1 fUr aile G aus X richtig. Beweis. Sei G aus X beliebig. Mit G':= GI1 folgt, dass G'11 = Gist. Da G' in X ist, gilt A fiir G'. Also gilt AI1 fiir G'11 = G. 0
Urn das Dualitiitsprinzip fiir projektive Ebenen nachzuweisen, benotigen wir den folgenden Hilfssatz. 1.2.3 Lemma. Injeder projektiven Ebene P gelten auch die zu den Axiomen 1,2',3 und 4 dualen Aussagen. Beweis. Axiom 1. Die zu Axiom 1 duale Aussage lautet ,je zwei verschiedene Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam". Dies ist eine richtige Aussage: nach 1.2.1
