Zahlen
Die Schwierigkeit Mathematik zu lernen und zu lehren ist jedem bekannt, der einmal mit diesem Fach in Berührung gekommen ist. Begriffe wie "reelle oder komplexe Zahlen, Pi" sind zwar jedem geläufig, aber nur wenige wissen, was sich wirklich dahinter verbi
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Grundwissen Mathematik
Ebbinghaus et al.: Zahlen Hammerlin/Hoffmann: Numerische Mathematik Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie Remmert: Funktionentheorie 1 Remmert: Funktionentheorie 2 Walter: Analysis 1 Walter: Analysis 2 Herausgeber der Grundwissen-Bande im Springer-Lebrbuch-Programm sind: G. Hammerlin, F. Hirzebruch, H. Kraft, K. Lamotke, R. Remmert, W. Walter
H.-D. Ebbinghaus H. Hermes E Hirzebruch M. Koecher K. Mainzer J. Neukirch A. Prestel R. Remmert Redaktion: K. Lamotke
Zahlen Dritte verbesserte Auflage Mit 31 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Heinz-Dieter Ebbinghaus Mathematisches Institut Universitlit Freiburg AlbenstraBe 23b, W.7800 Freiburg Hans Hennes Mathematisches Institut Univenitlit Freiburg AlbensaaBe 23b, W-7800 Freiburg Friedrich Hirzebruch Max·Planck-Institut fUr Mathematik Gottfried-Claren-Stra6e 26 W-S300 Bonn 3
Klaus Mainur Lehrsluhl fur Philosophie und Wissenschaftslheorie Universitlil Augsburg Universitlitsstra8e 10 W-8900 Augsburg Jurgen Neukirch Nalurwissenschaflliche Fakultăt I Mathematik Universillitsstra8e 31 W· 8400 Regensburg
Max Koecher t
Alexander Prestel Fakultiit fU r Mathematik Un ivers i tăl Konstanz Postfach SS60, w·nso Konslanz
Klaus Lamotke Mathematisches Institut der Universitlil zu Kijln Weyertal 86-90, W-SOOO KOIn
Reinhold Remmen Malhematisches Institut Universităt MUnster EinsteinsaaBe 62, W-4400 MiJnsler
Mathematics Subjecl Classification (1991): OOA05
Dieser Band erschien bisher als Band I de r Reihe Grundwisun MOlhematiJ:
ISBN 978-3·S40-SS654-1 [);e
DeUlUhe Bibliothek ,CIP· Einl>ciu.n fnlhme
Zlhlenl H.·D. Ebbina,hl ul ... Red.: K. u mOlkt . • ) . Aun. · Berlin; Heidelber, : New YOfk ; l.ondon ; Piri.: Tot yo ; Hon, Konl ; Blreclon.; Sud.pesl : Sprinlc,. 1992 (SprinICl'Lchrbudl) ISBN 971-l-~'S6$4-t
OOIIo.1001N11-~2.-511'$-1
ISBN 97S.~2.-5'1'$-1 (eBoot)
NE : Ebbingbau$, Hcin"DielC'
Diescs Wcl't iSI urhebe rr"h'ti~h gcschulll, Dic dadureh begrllndclcn Rechle , in.betondere die de. Obel'$Cl un l, des NachdTuch, des Vonrails, de. Enlnlhme "lOU Abbildun8tn un = id (identische Abbildung) ist, benutzt man die Eindeutigkeitsaussage des Rekursionssatzes fiir A = IN, a = 0 und 9 = S: Sowohl t/I 0 q> als auch id sind Abbildungen ~: IN -+ IN, fUr die ~(O) = 0 und tP S = S ~ gilt. Also muB t/I q> = id sein. Entsprechend folgt q> t/I = id. 0 0
0
0
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3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natiirlichen Zahlen. Fiir jede feste natiirliche Zahl m wird die Addition m + n, ausgehend von m + 0 = m, durch die Rekursionsformel m + S(n) = S(m + n) definiert. Hier wird also der Rekursionssatz fUr A = IN, a = m, 9 = S und q>(n) = m + n angewandt. Insbesondere gilt fiir 1: = S(O), daB m + 1 = S(m) der Nachfolger ist. AIle vertrauten Reehenregeln der Addition bediirfen nun eines Beweises. Wir beschranken uns auf den Nachweis des Assoziativgesetzes und verweisen fiir aile weiteren Regeln aufdas klassische Werk von E. LANDAU [18], Kap.1, §2. Fiir eine neuere, ausfiihrliche Darstellung sei auf [21a] verwiesen. Satz. Fur aile k, m,
