Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3 Statik, Elastostatik, Kinetik

Das Aufgabenbuch zu den Lehrbüchern der Technischen Mechanik 1-3.Es ist als studienbegleitendes Übungsbuch konzipiert. Sein Inhalt orientiert sich am Stoff der Vorlesungen zur Technischen Mechanik an deutschsprachigen Hochschulen. Behandelt werden die The

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REPORT


III

III Kinetik

Formelsammlung

III.1

Kinematik des Punktes

Bahn

Ortsvektor: r,

v

Geschwindigkeit: v = r, ˙

a

Beschleunigung: a = v˙ = r¨ .

P

r O

a) Kartesische Koordinaten r = xex + yey + zez ,

ez

P

v = xe ˙ x + ye ˙ y + ze ˙ z, a = x¨ex + y¨ey + z¨ez .

r

b) Zylinderkoordinaten

z

r = rer + zez ,

˙ M + z¨ez . a = (¨ r − r ϕ˙ )er + (r ϕ¨ + 2r˙ ϕ)e

P r

ez

v = re ˙ r + r ϕe ˙ M + ze ˙ z, 2

ey

ex

eM ϕ

.

er r

z y

x

(Hinweis: r entspricht nicht der L¨ange von r !) W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1–3, DOI 10.1007/978-3-642-21186-7_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

242

Kinetik: Formelsammlung

c) Nat¨ urliche Koordinaten v = vet , a = ve ˙ t+

v = |v| ,

eb

P

r

v2 en ; 

et

en M

O

: Kr¨ ummungsradius.

d) Sonderf¨alle Ebene Bewegung in Polarkoordinaten: y

r = rer , eM

˙ M, v = re ˙ r + r ϕe

.

a = (¨ r − r ϕ˙ )er + (r ϕ¨ + 2r˙ ϕ)e ˙ M. 2

Kreisbewegung: r = rer , v = r ϕe ˙ M

bzw. v = r ϕe ˙ t,

¨ M a = −r ϕ˙ 2 er + r ϕe

bzw. a =

et eM

er ϕ

er

en

P

v2 en + r ϕe ¨ t. r

ϕ

r

P r x

Kinematik des starren K¨orpers

III.2

243

Kinematik des starren K¨ orpers

Ortsvektor:

r P = r A + r AP ,

Geschwindigkeit:

v P = v A + ω × r AP ,

Beschleunigung:

aP = aA + ω˙ × r AP + ω × (ω × r AP ) .

P rP

ω r AP A

rA

O

Sonderfall ebener Bewegung: r P = r A + r AP

mit r AP = rer ,

v P = v A + v AP

mit v AP = r ωeM ,

aP = aA + arAP + aMAP

mit arAP = − r ω 2er ,

P

aA v AP = rω

r vA

Lageplan

aP

vP

ω, ω˙ A

aA

aMAP = r ωe ˙ M.

vA aMAP = r ω˙

Geschwindigkeitsplan

.

arAP = rω 2

Beschleunigungsplan

Die ebene Bewegung eines starren K¨orpers setzt sich aus Tanslation und Rotation zusammen. Sie l¨asst sich zu jedem Zeitpunkt auch als reine Rotation um den Momentanpol auffassen.

244

III.3

Kinetik: Formelsammlung

Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme

1) Kinetik des Massenpunktes a) Newtonsches Grundgesetz (Voraussetzung: m = konst) dp =F dt



ma = F ;

p = mv: Impuls .

b) Impulssatz mv − mv 0 =

t

¯ dt¯; F (t)

v 0 = v(t0 ) .

t0

c) Drallsatz (Drehimpulssatz, Momentensatz) dL(0) = M (0) ; dt L(0) = r × mv: Drall (Drehimpuls), 0: raumfester Punkt . d) Arbeitssatz Ek1 − Ek0 = W ; Ek = mv 2 /2: kinetische Energie, 0: Ausgangszustand, 1: beliebiger Zustand,  1 W = F · dr: Arbeit der ¨außeren Kr¨afte F . 0    dW . Leistung: P = F · v = dt

Sonderf¨alle: α) Ein Teil der ¨außeren Kr¨afte besitzt ein Potential Ep : Ek1 + Ep1 = Ek0 + Ep0 + WR ; WR : Arbeit der ¨außeren Kr¨afte ohne Potential.

Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme

245

β) Alle ¨außeren Kr¨afte besitzen ein Potential (Energiesatz): Ek1 + Ep1 = Ek0 + Ep0 = konst . 2) Kinetik der Massenpunktsysteme a) Schwerpunktsatz dp =F dt p=





mas = F ;

mi v i : Impuls, F =



F i : Resultierende der ¨außeren Kr¨afte,

as : Beschleunigung des Schwerpunktes. b) Impulssatz t

p − p0 =

¯ dt¯. F (t)

t0

c) Drallsatz dL(0) = M (0) ; dt L(0) = M (0)



(r i × mi v i ): Drall,  = (r i × F i ): Moment der ¨außeren Kr¨afte .

d) Arbeitssatz Ek1 − Ek0