Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3 Statik, Elastostatik, Kinetik
Das Aufgabenbuch zu den Lehrbüchern der Technischen Mechanik 1-3.Es ist als studienbegleitendes Übungsbuch konzipiert. Sein Inhalt orientiert sich am Stoff der Vorlesungen zur Technischen Mechanik an deutschsprachigen Hochschulen. Behandelt werden die The
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III
III Kinetik
Formelsammlung
III.1
Kinematik des Punktes
Bahn
Ortsvektor: r,
v
Geschwindigkeit: v = r, ˙
a
Beschleunigung: a = v˙ = r¨ .
P
r O
a) Kartesische Koordinaten r = xex + yey + zez ,
ez
P
v = xe ˙ x + ye ˙ y + ze ˙ z, a = x¨ex + y¨ey + z¨ez .
r
b) Zylinderkoordinaten
z
r = rer + zez ,
˙ M + z¨ez . a = (¨ r − r ϕ˙ )er + (r ϕ¨ + 2r˙ ϕ)e
P r
ez
v = re ˙ r + r ϕe ˙ M + ze ˙ z, 2
ey
ex
eM ϕ
.
er r
z y
x
(Hinweis: r entspricht nicht der L¨ange von r !) W. Hauger et al., Aufgaben zu Technische Mechanik 1–3, DOI 10.1007/978-3-642-21186-7_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
242
Kinetik: Formelsammlung
c) Nat¨ urliche Koordinaten v = vet , a = ve ˙ t+
v = |v| ,
eb
P
r
v2 en ;
et
en M
O
: Kr¨ ummungsradius.
d) Sonderf¨alle Ebene Bewegung in Polarkoordinaten: y
r = rer , eM
˙ M, v = re ˙ r + r ϕe
.
a = (¨ r − r ϕ˙ )er + (r ϕ¨ + 2r˙ ϕ)e ˙ M. 2
Kreisbewegung: r = rer , v = r ϕe ˙ M
bzw. v = r ϕe ˙ t,
¨ M a = −r ϕ˙ 2 er + r ϕe
bzw. a =
et eM
er ϕ
er
en
P
v2 en + r ϕe ¨ t. r
ϕ
r
P r x
Kinematik des starren K¨orpers
III.2
243
Kinematik des starren K¨ orpers
Ortsvektor:
r P = r A + r AP ,
Geschwindigkeit:
v P = v A + ω × r AP ,
Beschleunigung:
aP = aA + ω˙ × r AP + ω × (ω × r AP ) .
P rP
ω r AP A
rA
O
Sonderfall ebener Bewegung: r P = r A + r AP
mit r AP = rer ,
v P = v A + v AP
mit v AP = r ωeM ,
aP = aA + arAP + aMAP
mit arAP = − r ω 2er ,
P
aA v AP = rω
r vA
Lageplan
aP
vP
ω, ω˙ A
aA
aMAP = r ωe ˙ M.
vA aMAP = r ω˙
Geschwindigkeitsplan
.
arAP = rω 2
Beschleunigungsplan
Die ebene Bewegung eines starren K¨orpers setzt sich aus Tanslation und Rotation zusammen. Sie l¨asst sich zu jedem Zeitpunkt auch als reine Rotation um den Momentanpol auffassen.
244
III.3
Kinetik: Formelsammlung
Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme
1) Kinetik des Massenpunktes a) Newtonsches Grundgesetz (Voraussetzung: m = konst) dp =F dt
→
ma = F ;
p = mv: Impuls .
b) Impulssatz mv − mv 0 =
t
¯ dt¯; F (t)
v 0 = v(t0 ) .
t0
c) Drallsatz (Drehimpulssatz, Momentensatz) dL(0) = M (0) ; dt L(0) = r × mv: Drall (Drehimpuls), 0: raumfester Punkt . d) Arbeitssatz Ek1 − Ek0 = W ; Ek = mv 2 /2: kinetische Energie, 0: Ausgangszustand, 1: beliebiger Zustand, 1 W = F · dr: Arbeit der ¨außeren Kr¨afte F . 0 dW . Leistung: P = F · v = dt
Sonderf¨alle: α) Ein Teil der ¨außeren Kr¨afte besitzt ein Potential Ep : Ek1 + Ep1 = Ek0 + Ep0 + WR ; WR : Arbeit der ¨außeren Kr¨afte ohne Potential.
Kinetik des Massenpunktes und der Massenpunktsysteme
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β) Alle ¨außeren Kr¨afte besitzen ein Potential (Energiesatz): Ek1 + Ep1 = Ek0 + Ep0 = konst . 2) Kinetik der Massenpunktsysteme a) Schwerpunktsatz dp =F dt p=
→
mas = F ;
mi v i : Impuls, F =
F i : Resultierende der ¨außeren Kr¨afte,
as : Beschleunigung des Schwerpunktes. b) Impulssatz t
p − p0 =
¯ dt¯. F (t)
t0
c) Drallsatz dL(0) = M (0) ; dt L(0) = M (0)
(r i × mi v i ): Drall, = (r i × F i ): Moment der ¨außeren Kr¨afte .
d) Arbeitssatz Ek1 − Ek0
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