Computer-Numerik 2
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Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Christoph Üb erhub er
COMPUTERNUMERIK2 Mit 73 Abbildungen
,
Springer
Christoph Oberhuber TUWien Institut fUr Angewandte und Numerische Mathematik Wiedner HauptstraBe 8-10/115 A-1040Wien
Einbandmotiv: Einzelaufnahme (Ausschnitt) aus dem Videofilm von Margot Pilz "Gasoline Tango", 1988.
Mathematics Subject Classification: 65-00,65-01,65-04, 65Dxx, 65Fxx, 65Hxx, 65Yxx, 65Yl5, 65Y20
ISBN 978-3-540-59152-8
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Oberhuber, Christoph: Computer-Numerik IChristoph Oberhuber. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Bud.pest; Hong Kong; London; Mailand; Paris; Tokyo: Springer 2. - (1995) ISBN 978-3-540-59152-8 ISBN 978-3-642-57794-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-57794-9 Oieses Werk ist urheberrechtlich geschiltzt. Die dadurch begrilndeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfliltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervieIfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik DeutschIand vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zuIăssig. Sie ist grundslitzlich vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterIiegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. @ Springer-Verlag Berlin Heide1berg 1995 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heide1berg New York 1995
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in gN. Dann gibt es zu jedem I E :F eine beste lineare Approximation g* E gN, d. h. ein Element g* mit der Eigenschaft IIg* -
III
~ IIg -
111
für
alle gE gN·
Beweis: Werner, Schaback [77].
Das Problem der Bestapproximation besteht also (im linearen Fall) anschaulich darin, jenes Element g* des Vektorraumes gN zu finden, das den kürzesten Abstand von I hat. Das kann man sich so vorstellen, daß man um I eine Kugel
8(f, r) := 1+ r . 8(0,1)
mit
8(0,1):= {/ E :F:
11111
~ I}
des Raumes :F legt (siehe Abb. 10.2), und deren Radius r so lange verändert, bis sie den Unterraum gN "berührt". Jeder Berührungspunkt ist dann gerade die gesuchte FUnktion g* (siehe Abb. 10.3).
10. Optimale Approximation
4
...--_-+_ _...,(1,1) (1,0)
-f----+----+...
p=oo
Abb. 10.2: Einheitskugel 8(0,1) im IR? bezüglich der Nonn 11·111" p=I, 2,00 (Betragssummennonn
1I·lh, Euklidische Norm 11·112 und Maximumnorm 11·1100).
Abb. 10.3: Approximation von
f
E
:F durch Elemente aus gN
Daraus folgt insbesondere, daß die Bestapproximierenden bezüglich verschiedener Normen im allgemeinen nicht übereinstimmen und die Bestapproximierende bezüglich einer bestimmten Norm (etwa der L 1- oder Loo-Norm) nicht eindeutig zu sein braucht. Die Eindeutigkeit der Bestapproximierenden kann offensichtlich nur dann gewährleistet werden, wenn die Einheitskugel S(O, 1) b
