Filtrations et martingales
Dans ce chapitre, nous introduisons les rudiments de la théorie générale des processus sur un espace de probabilité muni d’une filtration. Cela nous amène à généraliser plusieurs notions introduites dans le chapitre précédent dans le cadre du mouvement br
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Filtrations et martingales
R´esum´e Dans ce chapitre, nous introduisons les rudiments de la th´eorie g´en´erale des processus sur un espace de probabilit´e muni d’une filtration. Cela nous am`ene a` g´en´eraliser plusieurs notions introduites dans le chapitre pr´ec´edent dans le cadre du mouvement brownien. Dans un second temps, nous d´eveloppons la th´eorie des martingales a` temps continu et nous e´ tablissons en particulier les r´esultats de r´egularit´e des trajectoires, ainsi que plusieurs formes des th´eor`emes d’arrˆet pour les martingales et les surmartingales.
3.1 Filtrations et processus Dans ce chapitre, les processus sont indexés par R+ .
D´efinition 3.1. Soit (Ω , F , P) un espace de probabilit´e. Une filtration sur cet espace est une famille croissante (Ft )0≤t≤∞ , index´ee par [0, ∞], de sous-tribus de F . On a alors, pour tous 0 ≤ s < t, F0 ⊂ Fs ⊂ Ft ⊂ F∞ ⊂ F . On dira parfois que (Ω , F , (Ft ), P) est un espace de probabilit´e filtr´e. Exemple. Si B est un mouvement brownien, on peut prendre Ft = σ (Bs , 0 ≤ s ≤ t),
F∞ = σ (Bs , s ≥ 0).
Plus g´en´eralement, si X = (Xt ,t ≥ 0) est un processus index´e par R+ , la filtration canonique de X est d´efinie par Ft = σ (Xs , s ≤ t) et F∞ = σ (Xs , s ≥ 0). Cette filtration canonique sera souvent compl´et´ee, comme nous le d´efinirons plus loin. Soit (Ft )0≤t≤∞ une filtration sur (Ω , F , P). On pose pour tout t ≥ 0 Ft+ =
\
Fs .
s>t
J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math¯matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_3, Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
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3 Filtrations et martingales
La famille (Ft+ )0≤t≤∞ (avec F∞+ = F∞ ) est aussi une filtration. On dit que la filtration (Ft ) est continue a` droite si Ft+ = Ft ,
∀t ≥ 0.
Soit (Ft ) une filtration et soit N la classe des ensembles P-n´egligeables de F∞ (i.e. A ∈ N s’il existe A0 ∈ F∞ tel que A ⊂ A0 et P(A0 ) = 0). La filtration est dite compl`ete si N ⊂ F0 (et donc N ⊂ Ft pour tout t). Si (Ft ) n’est pas compl`ete, on peut la compl´eter en posant Ft0 = Ft ∨ N , pour tout t ∈ [0, ∞], de sorte que (Ft0 ) est une filtration compl`ete. On dira qu’une filtration (Ft ) satisfait les conditions habituelles si elle est a` la fois continue a` droite et compl`ete. Partant d’une filtration quelconque (Ft ) on peut construire une filtration qui satisfait les conditions habituelles, simplement en compl´etant la filtration (Ft+ ). C’est ce qu’on appelle aussi l’augmentation habituelle de la filtration (Ft ). D´efinition 3.2. Un processus X = (Xt )t≥0 a` valeurs dans un espace mesurable E est dit mesurable si l’application (ω,t) 7→ Xt (ω) d´efinie sur Ω × R+ muni de la tribu produit F ⊗ B(R+ ) est mesurable. Cette propri´et´e est plus forte que de dire que, pour tout t ≥ 0, Xt est F -mesurable. Cependant, si l’on suppose que E est un espace m´etrique muni de sa tribu bor´elienne et que les trajectoires de X sont continues, ou seulement continues a` droite, il est facile de voir que les deux propri´et´es sont e´ quivalentes (approcher X par des p
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