Processus de Markov
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CHAPITRE
PROCESSUS
DE HUNT,
Nous avons ~tudi~, fondamentales
des processus
STANDARD
dans le chapitre
qui admettent
l@rien . Le prSsent
chapitre
nous examinerons,
ind~pendamment
les relations
PROCESSUS
pr@c~dent,
un semi-groupe
c o n t i e n t u n e @rude a x i o m a t i q u e
de ces propriStSs
de tout caract~re
entre
elles,
les propriStSs de transition
de ces propri@t@s :
fell@rien,
et q u e l l e s
fel-
quelles
cons@quences
sont
on en peut
tirer.
w 1 . Semi-groupes
d~signerons
Nous un sous-espace
universellement
La tribu bor~lienne
B_(E')
par
et processus
E'
un espace topologique, h o m S o m o r p h e
mesurable
coincide
de Hunt
alors
d'un espace
compact
m@trisable
avec la tribu de Baire
B
--
nous d@signerons
par
.
( E ' ) (I. I 0 ) ;
----O
B
(E')
la tribu compl~t@e universelle
(II. 28, c)) d e
--U
_B(E'). poserons
Nous supposerons
que l'on distingue
dans
E'
un point,
not@
~ , et nous
E=E'\[~]
Soit tel que l'on ait
(Pt) P
un semi-groupe
= I
de noyaux markoviens
sur
( E ' , __Bu(E')),
et :
O
(1. 1)
P t ( ~ , [~} ) = 1 p o u r t o u t Nous dirons
que
(Pt) est bor@lien
bor~liennes en ~o~c~o~e ~or~L~e~ru~$
t
s'il transforme
les fonctions
-
Toutes Le thgor&me E' ,
dans le chapitre
admettront
(Pt)
A I .-
(W,~,P)
sera
Pour
precedent,
tous les processus
(Yt)
l'atteignent, il est plus
mais
toute loi
~
sur
comme
gardent
avantageux
(Yt}tER+
loi initiale,
~
de
R+
dans
~d
p~
, pX
lecteur est p r i ~
(~)
Rappelons Les n ~
.
instant
d'gtendre
de se souvenir
associe
et l'image
o~ e l l e s
sur cette propri4t4
quel autre
qui contient
construit
est
g droite
contient aussi
A ~d
toutes les considerations =F , =r ~ , =
f? e s t i c i r e m p l a c ~
de limites
s'@tendent sans modification
des
,- X t ; f t , ~ ,
n o u s l'avons fait a u c h a p i t r e p r e"c e "d e n t ,
que la diff@rence tient ~ 1'existence
r
1 .
les notations
que
au
sa trajectoire
continues ~d
:
point .
d e l a l o i ,.P p a r
des applications
mesurable
est donc 4gale g
; @t , c o m m e
XIII-5 ~ 9 et XIII. II
d'insister
wE W
~ valeurs
toutes les trajectoires
du premier
n'importe
qui g tout
mesurable,
. Nous utiliserons
, E~ ,EX
~ partir
comme
l'ensemble
Cela nous permet n os X I I I - 4 , 5
8
probabilis~
( E ' R+ , (B=(E'))~ ยง, ( X t ) , p P ) l e p r o c e s s u s
E' : tout ensemble
q~(W) et s a p r o b a b i l i t 4
8
l'application
. Soit alors
des
.
et continu ~ droite
pas l'intention
t l - - - > Y t ( w ) ; ~0 e s t 4 v i d e m m e n t 4gale g ~
ensemble
d~fini sur cet espace,
d e (1. 1) q u e p r e s q u e
la valeur
de traiter
D@signons par
.
envisages
e t vRR+ c o m m e
E' , il existe un espace
markovien
nous n'avons
n ~ X I I . 13 , e t p a r
de transition
donc
pr~sente
markoviens
suppos~ v~rifi~ dans tout le chapitre
~
s'applique
.
I1 e s t f a c i l e d e d 4 d u i r e du p r o c e s s u s
stochastiques
XII s'@tend A la situation
semi-~roupe
e t un p
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