Vecteurs et processus gaussiens
Les semimartingales continues constituent la classe générale de processus à trajectoires continues pour laquelle on peut développer une théorie de l’intégrale stochastique, qui sera traitée dans le chapitre suivant. Par définition, une semimartingale est
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Semimartingales continues
R´esum´e Les semimartingales continues constituent la classe g´en´erale de processus a` trajectoires continues pour laquelle on peut d´evelopper une th´eorie de l’int´egrale stochastique, qui sera trait´ee dans le chapitre suivant. Par d´efinition, une semimartingale est la somme d’une martingale (locale) et d’un processus a` variation finie. Dans ce chapitre nous e´ tudions s´epar´ement ces deux classes de processus. En particulier, nous introduisons la notion de variation quadratique d’une martingale, qui jouera plus tard un rˆole fondamental. Tous les processus consid´er´es dans ce chapitre sont index´es par R+ et a` valeurs r´eelles.
4.1 Processus a` variation finie 4.1.1 Fonctions a` variation finie Dans ce paragraphe, nous discutons bri`evement les fonctions a` variation finie sur R+ . Nous nous limitons au cas des fonctions continues, qui est le seul qui interviendra dans la suite. D´efinition 4.1. Soit T > 0. Une fonction continue a : [0, T ] −→ R telle que a(0) = 0 est dite a` variation finie s’il existe une mesure sign´ee (i.e. diff´erence de deux mesures positives finies) µ sur [0, T ] telle que a(t) = µ([0,t]) pour tout t ∈ [0, T ]. La mesure µ est alors d´etermin´ee de fac¸on unique. La d´ecomposition de µ comme diff´erence de deux mesures positives finies n’est bien sˆur pas unique, mais il existe une seule d´ecomposition µ = µ+ − µ− telle que µ+ et µ− soient deux mesures positives finies port´ees par des bor´eliens disjoints. Pour obtenir l’existence d’une telle d´ecomposition, on peut partir d’une d´ecomposition quelconque µ = µ1 − µ2 , poser ν = µ1 + µ2 puis utiliser le th´eor`eme de Radon-Nikodym pour trouver deux fonctions bor´eliennes positives h1 et h2 sur [0, T ] telles que µ1 (dt) = h1 (t)ν(dt),
µ2 (dt) = h2 (t)ν(dt).
J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math¯matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_4, Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
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Ensuite, si h(t) = h1 (t) − h2 (t) on a µ(dt) = h(t)ν(dt) = h(t)+ ν(dt) − h(t)− ν(dt) ce qui donne la d´ecomposition µ = µ+ − µ− avec µ+ (dt) = h(t)+ ν(dt), µ− (dt) = h(t)− ν(dt), les mesures µ+ et µ− e´ tant port´ees respectivement par les bor´eliens disjoints D+ = {t : h(t) > 0} et D− = {t : h(t) < 0}. L’unicit´e de la d´ecomposition µ = µ+ − µ− d´ecoule du fait que l’on a n´ecessairement, pour tout A ∈ B([0, T ]), µ+ (A) = sup{µ(C) : C ∈ B([0, T ]), C ⊂ A}. On note |µ| la mesure positive |µ| = µ+ + µ− . La mesure |µ| est appel´ee la variation totale de a. On a |µ(A)| ≤ |µ|(A) pour tout A ∈ B([0, T ]). De plus, la d´eriv´ee de Radon-Nikodym de µ par rapport a` |µ| est dµ = 1D+ − 1D− . d|µ| On a a(t) = µ+ ([0,t]) − µ− ([0,t]), ce qui montre que la fonction a est diff´erence de deux fonctions croissantes continues et nulles en 0 (la continuit´e de a entraˆıne que µ n’a pas d’atomes, et il en va alors de mˆeme pour µ+ et µ− ). Inversement une diff´erence de fonctions croissantes (continues et nulles en 0) est aussi a` variation finie a
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