Reconstruction and Decomposition of Scalar and Vectorial Potential Fields on the Sphere
Wir geben einen kurzen Überblick über Approximationsmethoden auf der Sphäre, welche Anwendung in verschiedenen geophysikalischen Fragestellungen finden. Im Speziellen geht es um Methoden mit Bezug zu Potentialfeldpro- blemen und Lokalisierung auf der Sphä
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Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Basic Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Spherical Harmonics and Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Spherical Splines and Radial Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Fundamental Solutions and Multiscale Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Slepian Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Green’s Functions for the Beltrami Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Vector Field Decompositions and Vectorial Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Helmholtz Decomposition and Vectorial Multiscale Regularization . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Hardy-Hodge Decomposition and its Geophysical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vector Spherical Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Vector Spherical Splines and Radial Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Examples and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Deflections of the Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ocean Tide Generated Magnetic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Abstract
We give a brief overview on approximation methods on the sphere that can be used in a variety of geophysical setups. A particular focus is on methods related to potential field problems and spatial localization, such as spherical
This chapter is part of the series Handbuch der Geodäsie, volume “Mathematical Geodesy/ Mathematische Geodäsie”, edited by Willi Freeden, Kaiserslautern. C. Gerhards () · R. Telschow Computational Science Center, University of Vienna, Vienna, Austria E-Mail: [email protected]; [email protected] © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018 W. Freeden, R. Rummel (Hrsg.), Handbuch der Geodäsie, Springer Reference Naturwissenschaften, https://doi.org/10.1007/978-3-662-46900-2_103-1
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C. Gerhards and R. Telschow
splines, multiscale methods, and Slepian functions. Furthermore, we introduce the common Helmholtz and Hardy-Hodge decompositions of spherical vector fields together with some related recent results. The methods are illustrate for two different examples: determination of the disturbing potential from deflections of t
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