Reconstruction and Decomposition of Scalar and Vectorial Potential Fields on the Sphere
We give a brief overview on approximation methods on the sphere that can be used in a variety of geophysical setups. A particular focus is on methods related to potential field problems and spatial localization, such as spherical splines, multiscale metho
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Reconstruction and Decomposition of Scalar and Vectorial Potential Fields on the Sphere A Brief Overview Christian Gerhards and Roger Telschow
Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Basic Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Green’s Functions for the Beltrami Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Vector Field Decompositions and Vectorial Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Examples and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Abstract We give a brief overview on approximation methods on the sphere that can be used in a variety of geophysical setups. A particular focus is on methods related to potential field problems and spatial localization, such as spherical splines, multiscale methods, and Slepian functions. Furthermore, we introduce the common Helmholtz and Hardy-Hodge decompositions of spherical vector fields together with some related recent results. The methods are illustrate for two different examples: determination of the disturbing potential from deflections of the vertical and approximation of magnetic fields induced by oceanic tides.
This chapter is part of the series Handbuch der Geodäsie, volume “Mathematische Geodäsie/ Mathematical Geodesy”, edited by Willi Freeden, Kaiserslautern. C. Gerhards () TU Bergakademie Freiberg, Geomathematics and Geoinformatics Group, Freiberg, Germany E-Mail: [email protected] R. Telschow Computational Science Center, University of Vienna, Vienna, Austria E-Mail: [email protected] © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 W. Freeden (Hrsg.), Mathematische Geodäsie/Mathematical Geodesy, Springer Reference Naturwissenschaften, https://doi.org/10.1007/978-3-662-55854-6_103
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C. Gerhards and R. Telschow
Zusammenfassung Wir geben einen kurzen Überblick über Approximationsmethoden auf der Sphäre, welche Anwendung in verschiedenen geophysikalischen Fragestellungen finden. Im Speziellen geht es um Methoden mit Bezug zu Potentialfeldproblemen und Lokalisierung auf der Sphäre (z. B. Splines, Multiskalenmethoden und Slepian Funktionen). Des Weiteren führen wir zwei bekannte Vektorfeldzerlegungen (Helmholtz und Hardy-Hodge) ein und stellen die Verbindung zu einigen neueren Resultaten her. Abschliessend illustrieren wir unsere Ansätze an zwei geophysikalischen Beispielen: der Bestimmung des Störpotentials aus Lotabweichungen und der Approximation des Magnetfelds, welches durch Ozeangezeiten erzeugt wird.
Keywords Approximation on the sphere · Spatial localization on the sphere · Spherical multiscale expansions · Spher
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