Spezielle Funktionen und Taylorscher Satz
Wir wollen in diesem Paragraphen Funktionen möglichst gut durch Polynome approximieren. Diese Aufgabenstellung läßt sich in mehrfacher Weise präzisieren; wir lassen uns hier von der folgenden Überlegung leiten.
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Hans Grauen · Ingo Lieb
Differentialund Integralrechnung I Funktionen einer reellen Veränderlichen
Mit 25 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1967
ISBN 978-3-540-03872-6 ISBN 978-3-662-11559-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-11559-6
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdrüddiche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder auf andere Art zu vervielfältigen. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1967 Catalog Card Number 67-18965 Titel-Nr. 7556
Heinrich Behnke gewidmet
Vorwort Das vorliegende Brich über Funktionen einer reellen Veränderlichen ist der erste Teil einer dreibändigen Darstellung der Differential- und Integralrechnung. In den folgenden Bänden sollen Funktionen mehrerer Veränderlichen, gewöhnliche Differentialgleichungen und Integrationstheorie behandelt werden. Das Werk ist aus Vorlesungen für Studienanfänger der Mathematik und Physik hervorgegangen. Dem einführenden Charakter dieser Vorlesungen gemäß soll auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in höherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen möglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennen zu lernen. Dementsprechend sind alle Beweise bis in die Einzelheiten hinein ausgeführt, und in den ersten Paragraphen werden wichtige Beweismethoden eigens erläutert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenüber einen "naiven", d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders für das Prinzip der vollständigen Induktion und damit auch für den Begriff der natürlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Übersicht über den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. Im ersten Kapitel werden die Axiome des reellen Zahlkörpers mit ihren einfachsten Folgerungen ausführlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + oo und - oo werden axiomatisch miteingeführt. Die nächsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fußenden Grenzwertbegriff für Folgen und Reihen gewidmet. Da wir für die Definition der Konvergenz die natürliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen ± oo ausgeschlossen. -Die Begriffe "Iimes superior" und "Iimes inferior" sind so gefaßt, daß sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harmonieren. Reelle Funktionen werden im vierten Kapitel behandelt. Vor den stetigen werden halbstetige Funktionen definiert. Dieser Funktionstyp ist in Kapitel VII für die Definition von Umgehungen im Funktionsraum wichtig und damit zur Einführung des Lebesgueschen Integrals, das in diesem Buch das unbefriedigende Riemannsche Integral ablöst. Mit Hilfe des Stetigkeitsbegriffes können dann in Kapitel V differenzierbare Funktionen ohne Benutzung eines erneuten Grenzüberganges erklärt werden. Auf diese Weise ergeben sich wesentliche Vereinfachun-
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