The Orbit Method in Representation Theory Proceedings of a Conferenc
Ever since its introduction around 1960 by Kirillov, the orbit method has played a major role in representation theory of Lie groups and Lie algebras. This book contains the proceedings of a conference held from August 29 to September 2, 1988, at the Univ
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Progress in Mathematics Volume 82
Series Editors
J. Oesterle A. Weinstein
M. Duflo
N .V. Pedersen
M. Vergne
The Orbit Method in Representation Theory Proceedings of a Conference Held in Copenhagen, August to September 1988
With 23 Figures
1990
Birkhauser Boston . Basel . Berlin
M. Duflo University of Paris-VII 75251 Paris Cedex 05 France
N.V. Pedersen Mathematics Department University of Copenhagen 2100 Copenhagen Denmark
M. Vergne
eNRS
DMI 45 rue d'Ulm 75005 Paris France
Library of Congress Cataloging·in· Publ ication Data The Orb it met hod in represent ation theory: proceedings of a conference he ld in Copenhage n. August to September 1988JM. Duno. N.V . Pedersen. M. Vergne. editors. p. cm.- (Progress in m~lhemalics: v. 82) ·· Held at the University of Copenhagen from August 29 to September 2. 1988. . in honor of L. Pu l;ans~ky·· -Prc f. Incl udes bibliographical references. e-ISBN-13:978-1-4612·4486-8 ISBN·13: 978-1-4612-8840·4 DO l: 10.1007/978-1-46 12-4486· 8 I . Orbit mctOOd - Congresses. 2 Lie groups- Congresses. 3. Representat ions of groups-Congn:sses. 4. Lie algebrasCongresses. 5. Representat ions of al gebras-Congn:s!oCs. 6. Pul;anszky. L.-Congresses. J. Duno. Michel. II . Pederse n. N.V. (Niels Vigandl III . Vcrgne, Micht lc. IV. Pukanszky. L.V. K0benhavns UniversiteL VI. Series: Progre~ in mathematics (Boston. Mass.): vol. 82. QA387.013 1990 512" .55--dc20 89· 1&439 Prin ted on acid· free paper.
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Birkhiiuser Boston. 1990 Soficover reprint of the hardcover 1st edition 1990 All rights reserved . No pan of this pu blication may be reproduced . stored in a retriev al system. or transmitted. in any form or by any me~ns. cie 0 telle que l'on ait ferme dans g*\O. II est contenu dans CA(supp(Jl». Le lemme suivant precise Ie lemme 3.
Ie
LEMME 4. Soit () la transformee de Fourier d'une mesure positive temperee Jl sur g*. a) On a WF( (})x C WF( (})o pour tout X E g. b)On a WF«(})o = CE(Jl). DEMONSTRATION: Choisissons une mesure de Lebesgue dX sur g. Si E C;OO(g) on pose
~(f) =
1
e-i/(X)(X)dX.
16
ORBITES COADJOINTES ET COHOMOLOGIE EQUIVARIANTE
La fonction cI> est Coo sur g*. Soit Xo E g. Par definition (voir [15] ch. VIII), un element 10 E g*,O est dans Ie compIementaire de WF(O)xo s'il existe E C~(g) tel que (Xo) "I 0, et un voisinage conique C de 10 tels que, pour tout N > 0, il existe CN tel que 1 * p(f) = Ill. cI>(f - u )dp( u). Demontrons a). Soit 10 rI. WF(O)o. II resulte de ce qui precede que l'on peut trouver 13 E C~(g) telle que 13(0) "I 0 et /3 ~ 0, et un voisinage coni que C de 10 tels que 1.881 soit a decroissance rapide dans C (on choisit par exemple 13 de la forme r * t, ou r E C~ a son support suffisamment petit, et t(X) = r( -X)). On a donc .88 ~ O. Soit Xo E g. Definissons par la formule (X) = f3(X - Xo). On a (Xo) "10 et I 0 tel que l'integrale 18
ORBITES COADJOINTES ET COHOMOLOGIE EQUIVARIANTE
f g.(l + IIfll)-N dl'(I) converge. Dans f, la fonction (1 majoree par un multiple de (1 + IIfll)-N. On a
+ IIftll)-N
est
et P*(I') est temperee. II reste a demontrer
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