Anwendung der Elliptischen Funktionen in Physik und Technik
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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DERANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON
W.BLASCHKE · R. GRAMMEL· E.HOPF · F. K.SCHMIDT B. L. VAN DER WAERDEN BAND LV
ANWENDUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN IN PHYSIK UND TECHNIK VON
FRITZ OBERHETTINGER UND WILHELM MAGNUS
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ANWENDUNG DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN IN PHYSIK UND TECHNIK VON
DR. FRITZ OBERHETTINGER DOZENT FüR MATHEMATIK AN DER UNIVERS!Tl\T MAINZ
UND
DR. WILHELM MAGNUS PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT GOTTINGEN
MIT 54 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ISBN 978-3-642-52793-7 (eBook) ISBN 978-3-642-52794-4 DOI 10.1007/978-3-642-52793-7 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN,
VORBEHALTEN. COPYRIGHT 1949 SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG URSPRUNGUCH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG BERLIN/GÖTTINGEN/HEIDELBERG 1949
Vorwort. Bei den Anwendungen der elliptischen :Funktionen und Integrale auf die Behandlung physikalischer oder technischer Fragen werden nicht nur die grundlegenden Eigenschaften, sondern auch zahlreiche spezielle Formeln aus der Theorie dieser Funktionen gebraucht. Wir haben versucht, diesen Sachverhalt zu illustrieren durch eine Zusammenstellung von möglichst verschiedenartigen Beispielen; diese sind vorzugsweise nach mathematischen Gesichtspunkten ausgewählt, aber, soweit als möglich, nach den Anwendungsgebieten gruppiert worden. Mit Ausnahme der Sätze über einige konforme Abbildungen werden keine Resultate aus der Theorie der elliptischen Funktionen bewiesen; jedoch sind alle benutzten Formeln im ersten Kapitel zusammengestellt und, wo dies nötig erschien, mit einem Kommentar versehen worden. Einige Zahlentafeln sind beigefügt worden; diese sollen dem Benutzer des Buches eine rasche wenn auch nicht allzu genauenumerische Auswertung
von vielen der in den Beispielen auftretenden Formeln ermöglichen. Dem Springer-Verlag danken wir für ein hilfreiches Eingehen auf unsere Wünsche bei der Drucklegung des Buches. Mainz und Göttingen, im Oktober 1948.
Die Verfasser.
Inhaltsverzeie.bnis. Seite
Erstes Kapitel. Hilfsmittel . . . . . . . . . . . § 1. Allgemeine Bezeichnungen und Hilfsfunktionen . § 2. Ellipt,ische Integra]e . . . . . . . . . . . § 3. Die Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . § 4. Die elliptischen Funktionen von JACOBI . . . . Allgemeine Vorbemerkungen über elliptische Funktionen Definition der elliptischen Funktionen von JACOBI durch die Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition der elliptischen Funktionen von JACOBI durch Umkehrung des elliptischen Normalintegrals erster Gattung. § 5. Die JACOBische Zetafunktion . . . . . § 6. Die WEIERSTRASSsche g k)
= .
tp=arcsm
2K·E (k, 'P)- 2E ·F (k,1p) K(k). Vj 1 - E(k))
( 1 ,
k
(13)
§ 1. Ebene und bandförmige Leiteranordnungen.
59
Aus dieser transzendenten Gleichung ist bei vorgegebenem dfb der Modul k und damit die Kapazität aus GI. (12) berechenbar. Unter der Annahme eines homogenen Feldverlaufs zwischen den be
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