E Technische Mechanik
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J. Wittenburg H.A. Richard J. Zierep K. Bühler
Technische Mechanik
Mechanik fester Körper J. Wittenburg, H.A. Richard
Gegenstand der Kinematik ist die Beschreibung der Lagen und Bewegungen von Punkten und Körpern mit Mitteln der analytischen Geometrie. Dabei spielen weder physikalische Körpereigenschaften noch Kräfte als Ursachen von Bewegungen eine Rolle. Infolgedessen tauchen die Begriffe Schwerpunkt, Trägheitshauptachsen, Inertialsystem und absolute Bewegung nicht auf. Betrachtet werden Lagen und Bewegungen relativ zu einem beliebig bewegten kartesischen Achsensystem mit dem Ursprung 0 und mit Achseneinheitsvektoren e01 , e02 , e03 (genannt Basis e0 oder Körper Null)
1.1 Kinematik des Punktes 1.1.1 Lage. Lagekoordinaten
Die Lage eines Punktes P in der Basis e0 wird durch den Orts- oder Radiusvektor r oder durch drei skalare Lagekoordinaten gekennzeichnet. Die am häufigsten verwendeten Lagekoordinaten sind nach Bild 1-1a kartesische Koordinaten x, y, z, Zylinderkoordinaten , ϕ, z mit 0 und Kugelkoordinaten r, ϑ, ϕ mit r = |r|. Bei Lagen in der (e01 , e02 )-Ebene sind die Zylinderkoordinaten z = 0 und = r. Dann heißen r und ϕ Polarkoordinaten (Bild 1-1b). Bei Bewegungen des Punktes P längs einer Bahnkurve sind der Ortsvektor r und seine Lagekoordinaten Funktionen der Zeit. Nach Bild 1-1c wird die Lage von P auch durch die Form der Bahnkurve und durch die Bogenlänge s längs der Kurve von einem beliebig gewählten Punkt s = 0 aus gekennzeichnet. Allen
Lagekoordinaten sind nach Bild 1-1a–c Tripel von zueinander orthogonalen Einheitsvektoren zugeordnet, und zwar e01 , e02 , e03 den kartesischen Koordinaten, e , eϕ , ez den Zylinderkoordinaten, er , eϑ , eϕ den Kugelkoordinaten und et , en , eb (Tangenten-, Hauptnormalen- und Binormalenvektor der Bahnkurve) in Bild 1-1c. In der Ebene von et und en liegt der Krümmungskreis mit dem Krümmungsradius (nicht zu verwechseln mit der Zylinderkoordinate ). Zur Bestimmung von et , en , eb und in jedem Punkt einer gegebenen Kurve siehe A 13.2 sowie [1]. Bei ebenen Kurven mit der Darstellung y = f (x) ist ⎡ 2 ⎤−3/2 1 d2 f ⎢⎢⎢⎢ d f ⎥⎥⎥⎥ = 2 ⎢⎣1 + . ⎥ (x) dx dx ⎦ Umrechnung zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten (bzw. Polarkoordinaten im Fall z ≡ 0, r ≡ ): ' = (x2 + y2 )1/2 , tan ϕ = y/x , (1-1) x = cos ϕ , y = sin ϕ , z ≡ z . Umrechnung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten: ⎫ r = (x2 + y2 + z2 )1/2 , tan ϑ = (x2 + y2 )1/2 /z , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ tan ϕ = y/x , x = r sin ϑ cos ϕ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ . (1-2) Umrechnung zwischen Zylinder- und Kugelkoordinaten: ' r = ( 2 + z2 )1/2 , tan ϑ = /z , ϕ ≡ ϕ , (1-3) = r sin ϑ , z = r cos ϑ .
H. Czichos, M. Hennecke (Hrsg.), HÜTTE – Das Ingenieurwissen, DOI 10.1007/978-3-642-22850-6_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
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Bei Vektoren kann durch die Schreibweise i d/dt darauf hingewiesen werden, dass in einer bestimmten Basis ei nach t differenziert wird. Für einen Vektor c mit beliebiger ph
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