Homotopie des Espaces de Sections
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941 Andre Legrand
Homotopie des Espaces de Sections
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1982
Auteur
Andre Legrand U.E.R. de Mathematiques, Universite Paul Sabatier 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex, France
AMS Subject Classifications (1980): 55PXX ISBN 3-540-11575-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-11575-7 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210
INTRODUCTION
Au depart nous avons etudie l'homotopie des fibres en groupes pour r e s o ud r e La p r o b l e me pose depuis 1958,
[7J, par Le cal c u L de
l'invariant defini par la differentielle d de la suite spectrale de 2 Serre d'un fibre F + E + B -de base non simplement connexe. Rappelons que, si Best simplement connexe,
la differentielle
de la suite spectrale de Serre de E est le cup-produit par une classe 2 n E determinee par la premiere obstruction q
n
E
du fibre principal associe
structural (Fadell-Hurewicz, Par contre lorsque "plus riche"
a
E, G designant son groupe
[7J). (B) n'est pas nul, d
est un invariant 2 que l'obstruction classique (ici la premiere obstruction
est dans
(G»). Ceci est particulierement explicite lorsque o est libre. On associe alors a E des invariants d'Eilenberg pri-
mair$ et secondair% (definitions V-2 et V-3) 1£ HI(B, Ext(Hq(F), Hq-I(F»)
2(B, E H Hom(Hq(F), Hq-I(F») Cla cohomologie de B est
a
coefficients locaux). On definit une nouvel-
le operation (definition V-4)
* : HI(B, Ext(Hq(F), Hq-I(F») et pour tout c
HP(B,Hq(F», on a dP,q(c) 2
=
+
2(B,H q- I(F»
(theoreme V-S)
n2 V c + n I q q
D'apres E.H. Brown,
HP +
*
c.
toute cohomologie
sentable par les classes d'applications
a
repre-
valeurs dans un espace Y
convenable. Plus generalement les classes d'homotopie de X dans un H-espace G definissent un groupe, non "stable"
a
priori, et cependant
determine, au moyen de la suite spectrale "limitee" de Shih, la cohomologie de X
a
coefficients dans l'homotopie de G.
[19J,par
Toutes
les "cohomologies" utilisees ne sont pas obtenues ainsi : par exemple la cohomologie
a
coefficients locaux qui est representable par les
classes de sections d'un fibre en groupes de fibre un espace d'Eilenberg-Mac Lane (Siegel,
[22J, ou theoreme 111-2 plus loin).
Plus generalement considerons un fibre en groupes G +
B.
IV
L'espace des sections
est un groupe. Les groupes d'homotopie
rr sont filtres naturellement de deux manieres n(r1r)
:
-
en utilisant la decomposition de Postnikov de
-
suivant une dec
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