Probability in Banach Spaces 7 Proceedings of the Seventh Internatio
The first international conference on Probability in Banach Spaces was held at Oberwolfach, West Germany, in 1975. It brought together European researchers who, under the inspiration of the Schwartz Seminar in Paris, were using probabi listic methods in
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Series Editors Loren Pitt Thomas Liggett Charles Newman
Probability in Banach Spaces 7 Proceedings of the Seventh International Conference Ernst Eberlein James Kuelbs Michael B. Marcus Editors
1990
Birkhauser Boston . Basel . Berlin
Ernst Eberlein Institute for Mathematical Stochastics 7800 Freiburg Federal Republic of Germany
James Kuelbs Department of Mathematics University of Wisconsin Madison, WI 53706 USA
Michael B. Marcus Department of Mathematics Texas A & M University College Station, TX 77843 USA
ISSN: 0892-063X Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Probability in Banach spaces 7 : proceedings of the seventh international conference / Ernst Eberlein, James Kuelbs, Michael B. Marcus, editors. p. cm. - (Progress in probability; v. 21) Includes bibliographical references. ISBN 0-8176-3475-4 (allO,
V nEN
IXnl~Cn/L2n
p.s.
(L2X = In[ln(xVe e ))). CeUe suite verifie la l.fg.n. si et seulement si : V c> 0 Lexp(-cA;l)
< +00
(CP)
k~l
ou Ak
= 2- 2k L
EXl·
2k 0 nous definirons h( X, a) de la fat;on suivante : si a < sup essX, h(X, a) est l'unique solution de l'equation r.p(h) = a.
si a ~ sur essX, h(X, a) = +00. Nous adopterons de plus la convention suivante, OU OR designe toute v .a.r. presque surement nulle :
Va> 0
h(OR, a)
= +00.
Le lemme qui suit, implicitement contenu dans [5], est l'outil fondamental permettant de prouver la suffisance de la condition (eN) (cf. la demonstration du theoreme 7).
16 Lemme 4. Pour toute v.a.r. X symetrique, bornee et non degeneree on a : V a>O P{X~2a} ::;exp{-ah(X,a)}. Demonstration. On a d'une part pour tout MER et h
~
0:
D'autre part:
In[g(h)] = foh[lng]'(X)dX = foh d}
I:
~ d- 2
E(Zl),
l:Si:$;n
ou de fa 0 tel que ca- 1 ~ 6ai on a :
v aYi) < v[eaYi - e-aYi]) E(1 {ca-1:$Yi:$oa,}-lie _ (1 - e-2c)-lE(1 {ca-1:$Yi:$oa,}-li ~ (1 + TJ/2)E(I{IYil:$oai} Yie aYi ), (5) la symetrie des variables Xi ayant ete utilisee pour la derniere inegalite. Soit kEN; posons : h hk( u, 6, c), et supposons h fini. Pour i E Ik on a: A = E(Y/e hY,) = E(1{lYil:56a;JY/e hYi ).
=
Distingons deux cas : (a) ch- 1 ~ 6a; : tenant compte de (5) il vient : A ~ e C E(I{ -oai:$Yi:$ch-1} Y/) + 6ankE(I{ch-l:$Yi:$6ai} Yie hYi ) ~ eCE(Y/) + (1 + TJ/2)6ankE(YiehYi) (b) ch- 1
> 6ai : par symetrie des variables
Xi on a :
A ~ eCE(Y?) ~ eCE(Y/) + (1 + TJ/2)6ankE(YiehYi). Remarquons qu'en consequence de l'inegalite de Jensen: E(e hYi ) d'ou:
E(Y?e hYi )
2
E(Yie hYi )
~ eC E(u 2(Tt)) ~ eCE(IITtIl 2)
+ (1 + TJ/2)6a nk lf'u(Tt)(h) + (1 + TJ/2)6a~kc.
C
~ E(e hYi ) ~ ~{e E(J'i )+(I+TJ/2)6ank E(e hYi ) }
,elk
,elI.
> 1;
20 D'apres l'inegalite (3) il existe un entier ko = ko(€) tel que:
On applique alors Ie lemme 5 aux variables Yi, i E h, avec a = et d = ank (€ - 1/) pour obtenir :
W
nk
iEh
~ e- 2eha "k [1 - €( 8 + € )/2( e: - 1/)2],
°
avec 1- e:(8 +e:)/2(e: _1/)2> par (4). On a donc finalement prouve :
"Ie: > 0,31/ = 1/(e:) > 0, 3a(e:) > 0, 3ko(€), Vu E B~, Vk ~ ko(e:) a(e:)P{u(1t/2) ~ 1/a nk } ~ exp{-2wnkhk(U,€/2,€)}
=> a(e:)P{IIT;/211 ~ 1/ank } ~ exp{-2w nk
