Computation of the unipotent Albanese map on elliptic and hyperelliptic curves
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Computation of the unipotent Albanese map on elliptic and hyperelliptic curves Jamie Beacom1 Received: 19 October 2018 / Accepted: 3 December 2019 © The Author(s) 2019
Abstract We study the unipotent Albanese map appearing in the non-abelian Chabauty method of Minhyong Kim. In particular we explore the explicit computation of the p-adic de Rham period map jndr on elliptic and hyperelliptic curves over number fields via their universal unipotent connections U . Several algorithms forming part of the computation of finite level versions jndr of the unipotent Albanese maps are presented. The computation of the logarithmic extension of U in general requires a description in terms of an open covering, and can be regarded as a simple example of computational descent theory. We also demonstrate a constructive version of a lemma of Hadian used in the computation of the Hodge filtration on U over affine elliptic and odd hyperelliptic curves. We use these algorithms to present some new examples describing the co-ordinates of some of these period maps. This description will be given in terms iterated p-adic Coleman integrals. We also consider the computation of the co-ordinates if we replace the rational basepoint with a tangential basepoint, and present some new examples here as well. Keywords Elliptic curves · Hyperelliptic curves · de Rham fundamental group · Chabauty–Kim method · Unipotent Albanese map Mathematics Subject Classification 11GO5 · 11G30 · 11S80 · 11Y40 Résumé Nous étudions l’application unipotente d’Albanese qui apparait dans la méthode non- abélienne de Chabauty et Kim. En particulier, nous explorons le calcul explicite de l’application de de Rham p-adique de période j dr sur les courbes elliptiques et hyperelliptiques sur les corps numeriques via leurs connexions uniptotentes et universelles, U . Sont inclus de nombreaux algorithmes qui font partie du calcul des versions de niveaux finis jndr de l’application unipotente d’Albanese. Le calcul de l’extension logarithmique de U nécessite une description par une couverture ouverte et peut être considérée comme un exemple de la théorie de la descendance computationelle. On montre aussi une version constructive d’un lemme d’Hadian utilisé dans le calcul de la filtration d’Hodge de U , sur des courbes elliptiques
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Jamie Beacom [email protected] Mathematical Institute, University of Oxford, Andrew Wiles Building, Radcliffe Observatory Quarter, Woodstock Road, Oxford OX2 6GG, UK
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J. Beacom
affines ou hyperelliptiques affines impaires. Nous utilisons ces algorithmes pour présenter des nouveaux exemples décrivant les coordonnées de certaines de ces applications de périodes. La description sera donnée en terme des intégrales p-adiques itérées de Coleman. Nous considérons aussi le calcul des coordonnées quand le point de base rationnel est remplacé par un point de base tangentiel et présentons encore de nouveaux exemples dans ce cas.
Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Logari
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