Traitement du signal
Le filtre de Kalman-Bucy est sans nul doute l’algorithme stochastique le plus couramment utilisé en ingénierie, et plus particulièrement en traitement du signal [1 , 2 ].
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12.1 Filtre de Kalman-Bucy 12.1.1 Introduction Le filtre de Kalman-Bucy est sans nul doute l’algorithme stochastique le plus couramment utilis´e en ing´enierie, et plus particuli`erement en traitement du signal [98, 99]. Le probl`eme du filtrage consiste `a estimer les lois conditionnelles des ´etats d’un signal par rapport a` une s´equence d’observations partielles et bruit´ees. Plus pr´ecis´ement, les valeurs exactes du processus Xn ne sont pas directement observ´ees. N´eanmoins, un capteur de mesures nous transmet a` chaque ´etape n certaines informations Yn sur la valeur de Xn : X0 → X 1 → X 2 → X3 → . . . signal ↓ ↓ ↓ ↓ ... Y1 Y2 Y3 . . . observation Y0 Une illustration tr`es sch´ematique d’un probl`eme de filtrage d’un signal ´evoluant dans le plan par des observations de distances fournies par un radar centr´e en l’origine est donn´ee dans la figure 12.1.
Le but du filtrage est alors de calculer les lois conditionnelles Loi(Xn | Y0 , . . . , Yn−1 )
et
Loi(Xn | Y0 , . . . , Yn )
ou plus g´en´eralement la distribution conditionnelle de toute la trajectoire Loi((X0 , . . . , Xn ) | Y0 , . . . , Yn ) La premi`ere distribution est appel´ee le pr´ edicteur optimal, la seconde porte le nom de filtre optimal.
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques, Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_12, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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!"
Fig. 12.1. Filtrage de signaux radar
12.1.2 Description du mod` ele Dans le cadre du filtrage lin´eaire gaussien, le couple signal/observation (Xn , Yn ) est repr´esent´e par une chaˆıne de Markov `a valeurs dans Rp+q , et d´efinie r´ecursivement par les ´equations suivantes : Xn = An Xn−1 + an + Bn Wn , n ≥ 1 (12.1) n≥0 Y n = C n X n + c n + D n Vn , Les s´equences Wn et Vn repr´esentent des suites de variables al´eatoires ind´ependantes `a valeurs dans Rdw , et dans Rdv . On convient que ces s´equences sont ind´ependantes de la variable initiale X0 . Les lettres (An , Bn , Cn , Dn ), et (an , cn ) repr´esentent respectivement des matrices, et des vecteurs d´eterministes de dimensions appropri´ees. Les variables Wn et Vn sont suppos´ees gaussiennes, centr´ees, et de matrices de covariance respectives Rnw = E(Wn Wn )
et
Rnv = E(Vn Vn )
On suppose enfin que la variable initiale X0 est une variable gaussienne de moyenne et de matrice de covariance donn´ees par : − = E(X0 ) X 0
and
P0− = E((X0 − E(X0 )) (X0 − E(X0 )) )
Ces hypoth`eses sur la lin´earit´e des mod`eles, et la nature gaussienne de toutes les variables en jeu n’est pas anodine. Les mondes lin´eaires et gaussiens
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sont tr`es stables : toute op´eration lin´eaire et tout type de conditionnement entre variables ont ` a nouveau une nature gaussienne. Il est donc impossible d’´echapper a ` ces trous noirs gaussiens par des op´erations lin´eaires
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