Revolution im physikalischen Denken
Es wird gezeigt, wie Albert Einstein auf Basis der statistisch begründeten Entropieformel von Max Planck für die Hohlraumstrahlung zu seiner Lichtquantenhypothese von 1905 geführt wurde, und wie er bereits im Jahr 1909 mit Hilfe der statistischen Thermody
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Revolution im physikalischen Denken
2.1 Die von Einstein vorhergesagte korpuskulare Natur des Strahlungsfeldes Wie im vorangestellten Abschnitt erklärt, beruht die Plancksche Strahlungsformel auf der statistisch begründeten Entropieformel für die Hohlraumstrahlung in einem Volumen V als Integral über alle Frequenzen v:
∞
∫ 0 dvsv
S
=
sv
= kB × V
8π 2 v × [(1 + nv )ln(1 + nv ) − nv ln nv ] c3
(2.1)
Hier bezeichnet sv die spektrale Verteilung der Entropie und nv ist die mittlere (thermische) Besetzungszahl für Lichtquanten mit Energie hν wenn die Wände des Hohlraums auf der Temperatur T gehalten werden. Es ist dann im thermischen Gleichgewicht die mittlere Besetzungszahl
1
nv = e
hv k BT
−1
(2.2)
und
Ev = ρv ∆ v = k BV ×
8π 2 v ∆ v × hv × n v c3
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 R. P. Huebener, N. Schopohl, Die Geburt der Quantenphysik, essentials, DOI 10.1007/978-3-658-12452-6_2
(2.3)
21
22
2 Revolution im physikalischen Denken
definiert die spektrale Verteilungsfunktion ρν für Lichtquanten mit Energie hv, 8π wobei der Faktor V × 3 v 2 ∆ v gerade die (asymptotische) Anzahl der Eigenmoc den im Frequenzintervall [v, v + ∆ v ] gemäß der Maxwellschen Theorie für stehende elektromagnetische Wellen in einem großen Volumen V mit spiegelnden Randbedingungen angibt. Der Hohlraum enthalte jetzt ausschließlich Strahlung in einem kleinen Frequenzintervall [v, v + ∆ v ]. Für genügend hohe Frequenz ν ist dann überall nv 1 (Wiensches Strahlungsgesetz) und es vereinfacht sich der obige Ausdruck für die Entropie sv v im Volumen V zu
8π 2 Ev Ev sv ∆ v = k BV × 3 v ∆ v × nv (1 − ln nv ) = k B 1 − ln (2.4) 8π 2 hv c × v ∆ × hv V v c3
Da für großes Volumen V und genügend hohe Frequenz v der Abstand der Moden sehr dicht liegt, ist auch für kleine Intervallbreite Δv immer noch eine große Anzahl von Eigenmoden im Volumen vorhanden, die entsprechend interferieren. Aufgrund der dann auftretenden Schwebungen wird die Energiedichte im Hohlraum räumliche und zeitliche Schwankungen aufweisen. Die zuerst von Albert Einstein im Jahr 1905 untersuchte Situation betrachtet ein Teilvolumen V(0) von V, wobei der Durchmesser von V(0) aber immer noch als groß im Vergleich zur Wellenlänge angenommen sei, so dass die betrachtete Formel für die spektrale Entropiedichte auch für V(0) gültig bleibt:
sv( 0) ∆ v
Ev Ev = k B 1 − ln 8π 0 hv V ( ) × 3 v 2 ∆ v × hv c
(2.5)
Albert Einstein berechnete gemäß dem Boltzmannschen Prinzip sodann die relaW (0) tive Wahrscheinlichkeit v dafür, dass sich auf einmal die gesamte StrahlungsWv energie Eν nur im Teilvolumen V (0) befindet [7]:
ln
Wv( 0) sv( 0) − sv E V (0) = ∆ v = v ln Wv kB hv V
(2.6)
2.1 Die von Einstein vorhergesagte korpuskulare Natur des Strahlungsfeldes
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Eine ähnliche Formel bestimmt bekanntlich die (im allgemeinen extrem kleine) relative Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die in einem Volumen V befindlichen Partikel eines idealen klassischen Gases mit Teilchenzahl N und Temperatur T alle auf einmal
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