Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung
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Jahrgang 1937. ] . J. L, "'1I~'um. Hezil' hunge n de FluB\'('rlauj'e unci der ~ ·'fii.lI~kurve de NeckaJ'. zur I 'ehiehlcnlagel'ung am I'iidrnncl cI('s Od(,l1waldc', . D~Jark 1.10. 2. K ALKOWSKJ, Di(' PI>Tt:R' ~s ·hen F lii('h n mit koni eh!')) Kriimmunll:slini('ll. D:\lnrl< O.i;). 3. S udien im (lneisgC'birge d(,s Rc·hwarzwald('.. V. O. H. EHDlJA .' X DOR.·jo'SR. Di ,Kalk ilikatfel:e' Yon, 'CnO I~ LAf ·H. ]))lark 0.65. 4. , tudien im Gneisgebirge de.' I'c·hwarzwaldt". 'I. R WAGER. Ubcr ~Hgll1atite aus clem sUdlle-hen I chwarzwald. O)Iark 2.- . 5. tudien im Gnf'isgebirge des, ehwarzwalrlell. VIl . O. H . ERDlI[A,·". DORFFER. Die "Kalk ili katfcl c" von 'GRAO!. D~lark 0,60. G. ~ 1. ~I " LLF.R. Die _ nniihcrung ell' Tntegrale zlIs 0 und < 0, die folgende Eigenschaften besitzt: 1. Die Einteilung ist disjunktiv, d. h., fUr jedes Element a de 0 des Karpers gilt entweder a > 0 oder a < O. 2. Das Produkt ab irgend zweier nichtverschwindenden Karperelemente ist dann und nur dann > 0, wenn die Faktoren a, b entweder beide > 0 oder beide < 0 sind. Sonst also ist ab < o. Wir wollen die zweite Eigenschaft das Monotoniegesetz der Multiplikation nennen. - lVIindestens eine Halbordnung gibt es in jedem Karper, namlich die triviale, bei der alle von Null verschiedenen Elemente > 0 gesetzt werden. Eine andere Halbordnung braucht es nicht in jedem Karper zu geben; das kommt ja darauf hinaus, ob es in der ;\lenge der Elemente =F 0 bezuglich der lVIultiplikation eine Untergruppe yom Index 2 gibt, die alle Quadrate enthalt (das letzte z. B. wegen des lVIonotoniegesetzes der lVIulti plikation). Beispiele folgen weiter unten. Zu jeder Halbordnung des Kal'pers gehart eine Klasse von Ordnungsfunktionen der Geometrie, die nach folgender Vorschrift gewonnen werden: Vorschrift I. Es werde unter den rechtsproportionalen Koordinatenvektoren eines jeden Punktes (J. der Geometrie Pn ein bestimmter Koordinatenvektor ausgewahlt und mit !:x bezeichnet. Ebenso werde unter den linksproportionalen Koordinatenvektoren einer jeden Hyperebene h ein bestimmtel' ausgewahlt und mit u il bezeichnet. Sodann wird fUr jedes Paar, das aus einer Hyperebene h und cinem Punkt rt. der Geometrie besteht, das Symbol h( r t . ) i ,
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EMANUEL SPERNER:
= -1 oder = 0 gesetzt,. je llachdem ob in der gegebenen Halbordnullg des K6rpers K das Skalarprodukt u,,' ~o: > 0, < 0 oder = 0 ausfallt. Mit dem so erklarten Symbol h(oc) ist in der Tat im projektiven P" eine Ordnungsfunktion (im Sinlle von S. 3) definiert. Zur Abkurzung fUhren wir noch die folgenden Bezeichnungen ein: Abgeleitete Ordnungsfunktion erster Stufe der Ordnungsfunktion h(oc) heiJ3e jene Funktion h(i:J., fJ) der drei Veranderlichen h (= Hyperebene), oc und fJ (= Punkte), welche durch die Festsetzung h (oc, fJ) = h (oc) h (fJ) (4) erklart wird, wenn h weder mit oc noch mit fJ inzidiert G. Abgeleitete Ordnungsfunktion zweiter Stufe der Ordnungsfunktion h(oc) heiJ3e jene Funktion [h, k \ oc, fJ] der vier Veranderlichen It, h (= Hyperebenen) und oc, {J (= Punkte), welche durch die Gleichung [h, h: oc,
fJJ
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