Die Suzukigruppen und ihre Geometrien Vorlesung Sommersemester 1965
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10 Heinz Luneburq Mathematisches Institut der Universitat Mainz
Die Suzukigruppen
und ihre Geometrien Vorlesung Sommersemester 1965 in Mainz
1965
Springer-Verlag· Berlin Heidelberg· New York
All rights, especially that of translation Into foreign languages, reserved. It is slso forbidden to reproduce this book, either whole or In part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard) or by other procedure without written permission from Springer Verlag. C by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1965. Library of Congress Catslog Card Number 65-29153 Printed in Germany. Title No. 7330
Vor etwa sieben Jahren fand Suzuki beim Studium der 2-dimensionalen speziellen projektiven linearen Gruppen PSL(2,2 r) tiber einem endlichen Kerper der Charakteristik 2 eine Klasse von neuen einfachen Gruppen S(22r+1), die jenen nahe verwandt sind und die wie jene eine reiche gruppentheoretische und geometrische Struktur besitzen. So besitzt z. B. jede Gruppe aus einer dieser beiden Klassen eine Darstellung als zweifach transitive Permutationsgruppe vom Grade N + 1 mit N = 2r bzw. N = 2 2(2r+1), so
jedes von 1 verschiedene Element hechstens zwei Fixpunkte hat, und in der Tat sind PSL(2,2 r) und S(22r+1), wie Suzuki zeigen konnte, die einzigen Gruppen, die eine solche Permctationsdarstellung besitzen. Ferner
man,
PSL(2,22r) aufge-
als Untergruppe der Kollineationsgruppe des 3-dimensionalen projektiven Raumes PG(3,2 r) tiber GF(2 r) die Fixgruppe eines 0voides ist, welches sogar eine Flache zweiten Grades ist. Wie Tits dann zeigte, gehert zur S(22r+1) ebenfalls ein Ovoid in PG(3,2 2r+1), so also zu beiden Gruppen eine endliche Mebiusebene gehert, namlich die Mebiusebene, die aus den Punkten und nicht-trivialen ebenen Schnitten des fraglichen Ovoids besteht. Diese Mebiusebenen sind bis auf Isomorphie durch PSL(2,22r) bzw. S(2 2r+1) eindeutig bestimmt. Ferner sind diese Mebiusebenen bislang die einzigen Mebiusebenen gerader Ordnung, die man kennt o Ferner steht bei Tits bereits die durch S(22r+1) bestimmte Geradenkongruenz von PG(3,22r+1), die dann mit Hilfe der AndrJ'schen Entwicklungen zu Translationsebenen der Oranung 2 2(2r+1) ftihrte. Der Stabilisator eines affinen Punktes dieser Ebenen enthalt 0 h en Norma It e101 er, WOID1°t W1r 0 e1ne 0 0 e1nen zur S(2 2r + 1) 1soIDorp we1o
tere Analogie zu den PSL(2,2 r) gewonnen haben, denn der Stabili-
sator einer desarguesschen affinen Ebene tiber GF(2 einen zur PSL(2,2 r) isomorphen Normalteiler.
r)
enthalt
Diese in der Literatur verstreuten und zum Teil noch nicht publizierten Dinge zusammenzutragen und einheitlich darzustellen, war das Ziel dieser Vorlesung. Ich konnte md c'h dabei auf eine Vorlesung tiber Gruppentheorie stUtzen, die ich im Wintersemester 1964/65 gehalten habe. Aus dieser Vorlesung bzw. aus meinem Seminar, welches diese Vorlesung erganzte, entnahm ich eine Reihe von Satzen, die in dieser Ausarbeitung auch ohne Beweise jedoch mit den notigen Literaturhinweisen angegeben sind.
Eine Reihe von Fragen sind noch offen. So ware es wtinschenswert, ohn
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