Die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten und ihre Anwendungen
Um die Wellengleichung in Zylinderkoordinaten abzuleiten, geht man am einfachsten von der Kontinuitätsgleichung und der Gleichung für das Geschwindigkeitspotential aus. Die Lösung der Wellengleichung wird dann nach der Methode der Separation der Variablen
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hinter der Grenzebene zu entspringen. Es liegt nahe, diese Ebene als Schwerpunktsebene der Reflexion aufzufassen und den Reflexionsfaktor auf sie zu beziehen (s. Kap. XXII): ~
mit
.
tp =cpo
,
=
.k. , x,
9t e- 2 1
arp
+ ow (w-wo) +
Die Laufzeit tg'
= (2 x, -
.
~tp(w,)
.
uw = R e1[tp(w )+w,-,-+Gheder(ru-w,)' 0
(6,66)
arp arp 2w = fl'o + -c x,- Wo -ow + ... = IPo + 2 k x,-Wo aw . ::) / c wird dann Null; die auf diese Ebene be-
zogene akustische Impedanz _
1+R
eHtgw,+tp(w,)J
(6,67)
l; = -1--R=-e"""'ic;-[t,.-gw-,-+,.-'P-.,(:-w""'"',)J
bleibt aber in der Regel komplex. Wählten wir dagegen die Bezugsebene x = x' derart, daß 9t e-1"", reell ist, so erhielten wir zwar einen reellen Ausdruck für die akustische Impedanz, die Entfernung der Ebene x, würde aber nicht der Laufzeit der Welle bis zu ihrer Reflexion entsprechen. Andererseits ist es durchaus möglich, daß die Welle nicht in das reflektierende Medium eindringt und doch an seiner Oberfläche verzögert oder sogar vorzeitig zurückgeworfen wird. Ist C= j w mfe c beispielsweise ein Massenwiderstand, so gilt:
~ = j w m + ec
j w m- e c'
tgrp/ 2 = w m, ec
tg
= _ arp_ = ow
-2m
e2 c 2 + w 2 m2
(x)
=
-,g
-i
\I x- ~ n-n/4)
2 (7,21) - e • nx Sie beschreiben dann die mit gleichmäßiger Geschwindigkeit erfolgende Ausbreitung der Schalleistung w (r) · c auf immer größere Zylinderflächen (w (r) Energiedichte, c Schallgeschwindigkeit). Denn aus (7,22) 2nrw (r) c = N, N = Gesamtleistung der Schallquelle je Längeneinheit der Zylinderachse, folgt: 1'i (7,23} "' (r) = - - . 2:r r c
HP> (x) =
2. Radialsymmetrisch zylindrische Wellengleichung und die Struktur ihrer Grundlösungen 137
Für kleine Entfernungen von der Zylinderachse dagegen verhalten sie sich grundsätzlich anders. Hier tritt eine zusätzliche, keine Schalleistung nach außen tragende Mediumströmung in Erscheinung. · Um diesen eigenartigen Charakter des zylindrischen Schallfeldes verstehen zu lernen, seien die zylindrischen Lösungen der Wellengleichung nochmals elementar abgeleitet: Der einfachste zylindrische Schallsender ist die dicht mit Kugelquellen belegte z-Achse. Jeder Quellpunkt erzeugt den Schalldruck(s. Kap. VIII): e-ikr
dl,p =
~--
r
dz.
(7,24)
Die Summe der Beiträge aller elementaren Schallquellen ist durch das folgende Integral gegeben:
J 00
'13
= ~
e-ikr
-,-dz.
(7,25)
-oo
Schließlich können wir noch r ersetzen durch:
r = Vro2
+ (2,
'o2
=
Xo2
+ Yo2,
C = z-zo,
(7,26)
wenn x0 , y0 , z0 die Koordinaten des Aufpunktes, 0, 0, z, die der Quellpunkte auf der Zylinderachse darstellen, und der Konstanten IJ{ den Wert - 1lf n erteilen. Die Transformation (7 ,27)
führt dann tatsächlich unseren Lösungsansatz Gl. (7,25) in die SoMMERFELDsehe Integraldarstellung der zweiten RANKELseherr Funktion nullter Ordnung über:
J
-i""
H 0 (2) (k r 0 ) = _
2_
7l
e-ikr,cosa da.
(7.28)
joo
Gehen wir von einem in der Zylinderachse konvergierenden Wellenfeld aus, indem wir in den früheren Ausdrücken j durch - j ersetzen, so ergibt sich die entsprechende Integraldarstellung d
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