Differential- und Integralrechnung II Differentialrechnung in mehrer
Der nun vorliegende zweite Teil der dreibändigen Darstellung der Differential- und Integralredmung ist der Differentialredlnung der Funktionen mehrerer reellen Veränderlichen und den gewöhnlidlen Differentialgleidlungen gewidmet. Er ist gedadlt etwa für S
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Hans Grauert . Wolfgang Fischer
Diffirentialund Integralrechnung 11 Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Differentialgleichungen
Mit 25 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg N ew York 1968
ISBN 978-3-540-04180-1 ISBN 978-3-662-00236-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-00236-0 Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages übersetzt oder in irgend einer Form vervielfältigt werden. © by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1968. Library of Congress Catalog Card Number 67-18965 • Titel-Nr.7566
Heinrich Behnke gewidmet
Vorwort Der nun vorliegende zweite Teil der dreibändigen Darstellung der Differential- und Integralredmung ist der Differentialredlnung der Funktionen mehrerer reellen Veränderlichen und den gewöhnlidlen Differentialgleidlungen gewidmet. Er ist gedadlt etwa für Studenten im zweiten bis dritten Semester - dementsprechend wird vom Leser nur die Kenntnis des wesentlidlen Teils des Stoffs von Band I und darüber hinaus Bekanntschaft mit dem Begriff des Vektorraums erwartet. Die Autoren haben sidl wieder um einen strengen und systematisdlen Aufbau der Theorie bemüht. Dabei waren sie bestrebt, unnötige Abstraktionen und Verallgemeinerungen zu vermeiden, sie haben jedodl gleidlzeitig versudlt, Definitionen und Methoden so zu bringen, daß sie sidl möglidlst unmittelbar auf allgemeinste Fälle übertragen lassen. Beispielsweise besagt die Definition der (totalen) Differenzierbarkeit (in anderen Worten): Eine reelle Funktion f, die in einer offenen Umgebung U eines Punktes X o in einem Zahlenraum lRn erklärt ist, heißt in X o differenzierbar, wenn es eine in X o stetige Abbildung x -+ L1" von U in den dualen Raum Horn (lR n, lR) gibt, so daß f(x) =f(xo) +L1" (x-x o) gilt. Diese Definition überträgt sidl auf den Fall, wo X o Punkt eines separierten topologisdlen Vektorraumes E ist und die Werte von f in einem ebensoldlen Vektorraum Fliegen. Man hat dazu den Raum Horn (E, F) der stetigen linearen Abbildungen von E in F mit einer Pseudotopologie zu versehen 1: Man betrachtet z. B. genau die Filter ~ auf Horn (E, F) als gegen 0 konvergent, die folgende Eigensdlaft haben: Für jeden Filter 2! auf E mit 91· 2! -+ 0 gilt ~ (2!) -+ 0 in F. Dabei ist 91 der Filter der Nullumgebungen in lR, 91· 2! wird von den NA mit NE 91 und A E 2! erzeugt, ~(2!) von den L(A)= V l(A) mit LE~ und A e2!. Man kann nun AeL
die Differenzierbarkeit genau wie oben definieren, nur ist unter x -+ L1" jetzt eine in X o stetige Abbildung von U in Horn (E, F) zu verstehen. Man zeigt: Da die natürliche Abbildung Horn (E, F) XE -+ F stetig ist, ist L1 xo eindeutig bestimmt und kann als Ableitung von f im Punkt X o bezeidlnet werden. Audl jetzt folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit; es gilt die Kettenregel. Um zu zeigen, daß die Differenzierbarkeit eine lokale Eigensdlaft ist, muß man nodl voraussetzen, daß in E 1 Vgl. FRÖHLICHERjBuCHER: Calculus in Vector Spaces without Norm. Lecture Notes, Springer, Berlin 1966.
VIII
Vorwort
zu jedem eindimensionalen Unterrau
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