Fastperiodische Funktionen
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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON
W.BLASCHKE· R. GRAMMEL· E. HOPF . F. K. SCHMIDT B.L.VAN DER WAERDEN BAND LXI
FASTPERIODISCHE FUNKTIONEN VON
WILHELM MAAK
S P R IN G E R -VE R LA G BERLIN / GOTTINGEN / HEIDELBERG 195 0
FASTPERIODISCHE FUNKTIONEN VON
WILHELM MAAK PROFESSOR AN DER UNIVERSIT1i.T HAMBURG
S PRIN G ER-VE RLA G BERLIN / GOTTINGEN / HEIDELBERG
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
ISBN 978-3-642-52798-2 ISBN 978-3-642-52797-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-52797-5 COPYRIGHT 1950 BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN 1 GOTTINGEN / HEIDELBERG. Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1950
Vorwort. Das vorliegende Buch handelt von den fastperiodischen Funktionen auf Gruppen. Die Theorie dieser Funktionen erfaBt als SpeziaWille unter anderem die Fourierreihen periodischer Funktionen, die eigentlichen von H. BOHR geschaffenen fastperiodischen Funktionen und die Kugelfunktionen. 1m Grunde ist die Theorie der fastperiodischen Funktionen auf Gruppen nichts anderes als die Darstellungstheorie beliebiger, also vor aHem auch unendlicher Gruppen. Als wichtigste Anwendung der Hauptsatze uber fastperiodische Funktionen auf Gruppen darf man wohl die v. Neumannsche BeweisfUhrung ansehen, welche zeigt, daB jede kompakte, n-dimensionale Gruppe eine treue endliche unit are DarsteHung besitzt. Unter Benutzung von Satzen aus v. Neumanns Theorie der linearen Gruppen kann hieraus gefolgert werden, daB j ede kompakte n-dimensionale Gruppe eine Liesche kontinuierliche Gruppe ist. Das bekannte V. Hilbertsche Problem, welches sich aHerdings auf noch a Ilgemeinere, etwa lokalkompakte Gruppen bezieht, ist durch die~en Satz fUr den Fall kompakter Gruppen befriedigend gelost. AIle angedeuteten Probleme, Satze und Zusammenhange werden in diesem Buche erlautert und bewiesen. Obwohl damit nur ein gewisser (wie mir scheint, besonders schaner) Ausschnitt aus dem Gesamtgebiet der Theorie fastperiodischer Funktionen wiedergegeben wird, durfte der Leser wohl trotzdem durch die Lekture in den Stand gesetzt werden, jede Abhandiung, welche sich auf fastperiodische Funktionen bezieht, ohne Schwierigkeiten zu verstehen. In dem letzten Abschnitt dieses Buches wird auBerdem versucht, in kurzen Worten einen 'Oberblick uber das Gesamtgebiet der fastperiodischen Funktionen zu geben. Einzelne Literaturhinweise, die diesem Abschnitt beigefUgt sind, werden moglicherweise als angenehm empfunden werden. Der Text des Buches ist so angeordnet, daB ein eiliger Leser sich sehr wohl uber Teilgebiete der gesamten Theorie orientieren kann, ohne notwendig aIle vorangegangenen Kapitel durchstudieren zu mussen. Bei dieser Art der Benutzung des Buches werden folgende Hinweise nutzlich sein: Die §§ 24 bis 29 enthalten eine vollstandige, unabhangig lesbare elementare Theorie der Bohrschen fastperiodischen Funktionen. - Die §§ 3 bis 11 und § 30 geben die Theorie der DarsteHungen endlicher und unendlicher Gruppen. Zum restlosen Verst
