Geometrische Ordnungen
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mit besonderer Beriicksichtigung der Anwendungsgebiete Band 133
Herausgegeben von
J. L. Doob . E. Heinz· F. Hirzebruch . E. Hopf H. Hopf . W. Maak . S. Mac Lane W. Magnus· D. Mumford· F. K. Schmidt· K. Stein
Geschiiftsfiihrende Herausgeber
B. Eckmann und B. L. van der Waerden
Geometrische Ordnungen
Otto Haupt und Hermann Kiinneth Professoren an der Universitat Erlangen-Niirnberg
Mit 20 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1967
Gcocbliftsfuluendc HeNusgeber:
Prof. Dr. B. ECKMANN BidgenOsaiache Tecbniache Hoc:hscbule Zu 0 existiert ferner ein n('YJ) derart, daB fUr n> n('YJ) die x~" in der 'YJ-G-Umgebung Vx von x~ liegen. GemaB Axiom (II) (2) liegt daher K~ fur n> n('YJ) bei hinreichend kleinem 'YJ in beliebig kleiner f-Umgebung von K".
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1. Ebene Bogen. Kurven und Kontinua
Smnit ist K" = limK~ = L E f 0. ffi. Da L E ffi beliebig war. folgt ffi 0. f = ffi C f. - Beer. (2) Da gin sich kompakt ist und ffi abgeschlossen in g. ist ffi ebenfalls in sich kompakt. Da in-sich-kompakt ein Absolutbegriff ist und ffi C f, ist ffi auch kompakt (in sich) in t. Jedes KEf besitzt also beliebig kleine f-Umgebungen to mit kompaktem ffi C f; W.Z.Z.w.
3. Satz. Voraussetzung (IX). Es genuge f den Axiomen (I). (II) (1) und (2) (Abschn. 1.1.1.). - (fJ) Auperdem sollfudgelten: Ish" = limxn" mit Xx =l=x.,Jurx =l=T;X. T= 1 •...• k; undexistierlKn =K(xnl> ...• Xnlt) E f. so existierl auch K (XII' ..• Xlt). - (y) Schlieplich seien M = MeG und N = NeG fremde abgeschlossene M engen. Behauptung. Das System fl = f (M. N) aller OCh mit M 0. K =1= 0 und N 0. K =1= 0 ist kompakt (in sich). Beweis. Es sei K~Ef/. r=1.2 ..... Wegen der Kompaktheit von g kann die Existenz von L = limK; E g vorausgesetzt werden. Wegen M 0. N = 0 ist L 0. M =1= 0 und L 0. N =1= 0. also L ein (mehrpunktiges) Kontinuum; daher existieren k verschiedene Punkte y" E L. x = 1 •...• k. Wegen L = limK~ gibt es Yrx E K~ mit y" = limYr". r = 1 • 2. . . .. GemaB Voraussetzung (fJ) existiert K (YI •...• Yk) E f. Da die Yrx schlieBlich alle in beliebig kleiner G-Umgebung von yo< liegen. schlieBt man wie beim Beweis der Behauptung (1) des 2. Satzes auf K(yJ •...• Yk) = limK; = L E fl. 1.3.2. Lokale Seiten von Ordnungscharakteristiken. Stetigkeit Hilfssatz. Voraussetzung. Es sei T = Tc G ein Teilbogen oder ein Punkt von K. - Behauptung (I). Es gibt beliebig kleine G-Umgebungen U von T derart, daB U Inneres einer Jordankurve Jist und daB K 0. J = {b/} V {b"}. also genau zwei Punkte enthalt. - (II) Bei gegebenem U (vgl. (I)) ist IO = K 0. U = K (b' Ib") der groBte in U enthaltene Teilbogen von K. und zwar ist T C IO. ZU U gibt es G-Umgebungen U' von b' bzw. U" von b" der folgenden Art: Es ist U' bzw. U" Inneres einer J ordankurve ]' bzw. J"; ferner ist TO 0 . ] ' und TO 0. J" bzw. K 0 . ] ' und K 0. J" je ein- bzw. zweipunktig und T C V = U - U 0. a' - U 0. a". AuBerdem ist V Inneres einer (in J v]' V J" enthaltenen) J ordankurve. und gleiches gilt von U - U 0. a' sowie von U - U 0. a". Bezeichnung. Umgebungen U von der in Behauptung (I) erk1ii.rten Art
