Magische Quadrat-Quadrate und Divisionsalgebren
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Magische Quadrat-Quadrate und Divisionsalgebren Ísabel Pirsic
Eingegangen: 24. Juli 2019 / Angenommen: 6. November 2019 © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019
Zusammenfassung Von Euler stammt eine Parametrisierung einer Klasse von magischen 4 ✕ 4-Quadraten, deren Einträge Quadratzahlen sind und noch zusätzliche Eigenschaften erfüllen. Diese können unter Zuhilfenahme der him noch unbekannten Multiplikation im Bereich der Quaternionen verstanden und rekonstruiert werden. Wir untersuchen, inwieweit sich dieser Ansatz auf weitere Divisionsalgebren erweitern lässt, insbesondere auf die Oktonionen. Schlüsselwörter Unterhaltungsmathematik · Magische Quadrate · Oktonionen · Divsionsalgebren MSC-Classification 97A20 · 05B15 · 05B20 · 11R52
1 Einleitung Magische Quadrate gehören zu den einfachsten Zahlenrätseln, an denen sich auch Menschen mit nur wenigen mathematischen Kenntnissen erfreuen können: es genügt, überprüfen zu können, ob in einem quadratischen Schema von voneinander verschiedenen ganzen Zahlen, üblicherweise größer Null, die Summe der Einträge in allen Zeilen und Spalten und auch der Diagonalen konstant ist. Eines selbst zu erstellen, erfordert anfangs vielleicht etwas Geduld, lässt sich aber noch recht einfach bewerkstelligen. Bald lassen sich schließlich auch allgemeine Konstruktionsverfahren finden, die nach Wahl von wenigen Parametern stets ein magisches Quadrat liefern. Eine erste systematische Untersuchung erfolgte durch Leonhard Euler [5].
Í. Pirsic () ÖAW (RICAM), Linz, Österreich E-Mail: [email protected]
K
Í. Pirsic
Die Problemstellung lässt äußerst viele Verallgemeinerungen zu, die es immer schwieriger und manchmal unmöglich machen, überhaupt Lösungen zu finden; seien es zusätzliche Symmetrien, oder zusätzliche Bedingungen. Im Folgenden wird es um ein Problem gehen, das von Euler [6] als „problema curiosum“ gestellt wurde: man finde ein Quadrat (wir werden im Folgenden, wie in diesem Gebiet üblich, „Quadrat“ gleichbedeutend mit „Matrix“ verwenden) A E I N
B F K O
C G L P
D H M Q
sodass gilt: A2 C B 2 C C 2 C D 2 A2 C E 2 C I 2 C N 2 A2 C F 2 C L2 C Q2
D D
D D D
E 2 C F 2 C G 2 C H 2 D ::: B 2 C F 2 C K 2 C O 2 D ::: D2 C G2 C K 2 C N 2;
sowie die weiteren Bedingungen 0
D
AE C BF C C G C DH D AI C BK C CL C DM D AN C BO C CP C DQ D EI C FK C GL C HM D ::: D I N C KO C LP C MQ D AB C EF C IK C NO D AC C EG C IL C NP D AD C EH C IM C NQ D BC C F G C KL C OP D ::: D CD C GH C LM C PQ D 0.
Mit anderen Worten sollen die Summe der Quadrate in den einzelnen Zeilen und Spalten, sowie der zwei Diagonalen, konstant sein, sowie die Skalarpodukte unterschiedlicher Zeilen und Spalten untereinander verschwinden (Zeilen und Spalten werden dabei nicht gemischt). Da hierbei die Quadrierung eine wesentliche Rolle spielt, wollen wir solche Matrizen „magische Quadrat-Quadrate“ nennen (aus dem Englischen „magic square of squares“). Dies wirkt nun zunächst wie eine überwältigende Anzahl von Bedingungen, 22 quadratische Gleichungen in 16 Unbekannten, die es fraglich schei
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