Bedingte lineare Regression
Im letzten Kapitel haben wir uns zum ersten Mal mit dem Fall zweier numerischer Regressoren X und Z beschäftigt. Dabei war die Regression E(Y\X, Z) eine Linearkombination von X und Z. Eine entscheidende Eigenschaft dabei war, dass die bedingten Regression
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Bedingte lineare Regression
Im letzten Kapitel haben wir uns zum ersten Mai mit dem Fall zweier numerischer Regressoren Xund Zbeschäftigt. Dabei war die Regression b{Ylx, Z) eine Linearkombination von Xund Z. Eine entscheidende Eigenschaft dabei war, dass die bedingten Regressionen von Y auf X gegeben Z= z lineare Funktionen von Xwaren, und zwar mit für jeden Wert z von Z gleichen Steigungskoeffizienten der bedingten Regressionsgeraden. Diese verlaufen demnach parallei. In einem solehen Fall sprechen wir von partieller linearer regressiver Abhängigkeit. In diesem Kapitel betrachten wir nun einen etwas komplizierteren Fall, bei dem die bedingten Regressionen zwar ebenfalls lineare Funktionen von X sind, deren Graphen aber nicht mehr unbedingt parallei verlaufen. In diesem Fall sprechen wir nicht mehr von partieller, sondem von bezüglich Z bedingter linearer regressiver Abhängigkeitder Variablen Yvon X Überblick. W ir behandeln zunächst ein Beispiel für die bedingte lineare regressive Abhängigkeit, nämlich das Verhiiltnismodell fur geometrischoptische Täuschungen (wie Z. 8. die Baldwin-Täuschung). Danach kommen wir zum Begriff der bedingten linearen regressiven Abhängigkeit, der dadurch definiert ist, dass sich die Regression b{ YI X, Z) durch eine Funktion (von Xund Z) der Form
darstellen lässt. AnschlieBend gehen wir auf einige Spezialfalle ein, die sich zum einen dadurch ergeben, dass die Funktionen go(z) und gl (Z) eine spezielle Form annehmen, und zum anderen dadurch, dass Xund Z dichotom sind.
10.1 Beispiel. Das Verhältnismodell für geometrisch-optische Täuschungen I Im Kapitel 7 wurde als klassiseher Anwendungsfall einer linearen Regression das stochastische Potenzgesetz in logarithmierter Form behandelt, dessen Gültigkeit ftir Experimente postuliert wird, bei dem eine Versuchsperson eine Linie herstellen so 11, deren Länge ihr gleich lang wie eine ihr dargebotene Linie erscheint. Die Linie wird dabei ohne Kontext-soweit das denn überhaupt geht-dargeboten. Bredenkamp (l984a, 1984b) hat die Frage aufgeworfen, ob und wenn ja, wie sich das PotenzR. Steyer, Wahrscheinlichkeit und Regression © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
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Kapilei 10. Bedingle lineare Regression
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AbbUdung 1. Sechs Baldwin-Figuren. die sich aus der Kombinalion von Linien zwcier verschiedcner Längen und Quadraten dreier ver chiedener GröBen ergeben.
gesetz auch fiir Reize mit Kontext verallgemeinem lässt. Mit "Kontext" sind dabei bspw. die Quadrate der in Abbildung 1 dargestellten BaldwinFiguren gemeint, bei denen offensichtlich optische Täuschungen auftreteno Die Linien zwischen den Quadraten werden, bei objektiv gleicher Linienlänge, verschieden lang wahrgenommen, wenn sich die GröBe der eingrenzenden Quadrate in geeigneter Weise unterscheidet. Die sechs Figuren sind aus der Kombination von drei verschieden groBen Quadraten und zwei verschieden langen Linien zwischen den Quadraten zusammengeset
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