Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen
Wir bezeichnen die rechtwinkeligen Koordinaten eines Punktes mit ξ, η und betrachten den Einheitskreis (Kreis vom Radius 1, Abb. 75)
- PDF / 1,744,520 Bytes
- 17 Pages / 481.89 x 691.654 pts Page_size
- 3 Downloads / 174 Views
186
dar oder, wenn B
=1= 0
ist, C
A
log y = - l f x - l f ' d. h.
y=
A C --x-10 B B
= ca",
A
C
wo C = 10 B, a = IO - B ist. In einem derartigen Koordinatensystem ist also jede Exponentialfunktion durch eine Gerade dargestellt. Papiere in der Art des gewöhnlichen Millimeterpapiers, jedoch mit einfacher oder doppelter logarithmischer Teilung entsprechend den oben geschilderten Arten von Koordinatensystemen, sind im Handel erhältlich. 1.
Aufgaben.
Zu differenzieren 1
c) x sinx ;
b) x";
I
n
f) e"
(- I)"
d) In tan
d)
a)
~
=1= -
e) In tan
(~+ ~); 2
4.
(n-v)!
x n-,·. '
g)
e-".Lln n!V)! xn-,·. v=o
I-tanx 1+ tan x dX''
~ x'" In x dx, ~
2
n
n'.
V=O
2.
~;
I;
b) ~ xe- a2 ,,2 dx ' e)
\ In x dx;
.
x
c)
f)
I
(a x 2
+ 2 b x + c)" (a x + b) dx;
x) Jr In (ln x
dx;
g)
wobei t(x) ein Polynom n-ten Grades ist. Man untersuche die Sonderfälle ~ = und vergleiche damit die Aufgaben I fund g.
(' Je"''' t(x)
±
I,
t(x) =
dx,
"n
3. Abschätzung der Differenzen von log sin x in einer nach Minuten fortschreitenden Tafel (log bedeutet den dekadischen Logarithmus!). 1
4. Die Kurve y
=
e x zu diskutieren.
§ 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen. I. Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels. Wir bezeichnen die rechtwinkeligen Koordinaten eines Punktes mit ~, 'YJ und betrachten den Einheitskreis (Kreis vom Radius I, Abb. 75)
~2+'YJ2=I.
Dieser Kreis wird orientiert, indem man einen bestimmten Durchlaufungssinn, und zwar den dem Drehungssinn des Uhrzeigers entgegengesetzten, als positiv auszeichnet!. Die vom Punkt A = (1,0) aus bis zu einem beliebigen Punkt p = (~, 'YJ) des Kreises gemessene Bogenlänge sei x; x ist dabei positiv oder negativ, je nachdem der Kreisbogen von A aus im positiven oder negativen Sinn durchlaufen wurde. Es würde genügen, x auf das Intervall [0, 2 n) zu beschränken, um alle Punkte des Kreises zu erhalten; wir wollen aber hier auf die Eindeutigkeit der Zuordnung von Kreispunkten und Zahlen x verzichten und für x alle reellen Werte zulassen. Zum Punkt P gehören dann unendlich viele Bogenlängen, die sich um ganzzahlige Vielfache von 2 n unterscheiden. Ist X o 1 Daß man gerade den dem Uhrzeiger entgegengesetzten Drehungssinn als positiv bezeichnet, ist natürlich eine völlig willkürliche Festsetzung.
A. Duschek, Vorlesungen über höhere Mathematik © Springer-Verlag Wien 1956
§ 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen. 1,2.
IS7
der kleinste nicht negative Wert, der als Bogenlänge für P in Betracht kommt·es ist dann sicher 0 ;;:;; x < 2 n -, so sind alle P zugeordneten Bogenlängen x = Xo + 2 k n durch
gegeben, wobei k = 0, ± r, ± 2, ± 3, ... , also eine beliebige ganze Zahl ist. Umgekehrt gehört natürlich zu jeder reellen Zahl x ein ganz bestimmter Punkt des Einheitskreises. Die zu einem Winkel A 0 P gehörende Bogenlänge x am Einheitskreis dient in der Analysis als Maß dieses Winkels und wird als dessen Bogenmaß bezeichnet. Ist IX das Gradmaß eines Winkels, so ist sein Bogenmaß
=
X
2n
1J _-=,.;8+-~_ _+~
g
n ISO IX,
n
da -6= -s
Data Loading...
