Gauss Eine biographische Studie
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CARL FRIEDRICH GAUSS
Walter K. Buhler
GAUSS Eine biographische Stodie
Mit 10 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo
WALTER
K.
B OHLER
204 Barker St., MI. Kisco, NY 10549, USA
FrQlllispiz: GauB im Jah re 1803 (Portrait von J . C. A . Schwartz)
Tilel der engiischen Originalausgabe W. K. Buhler: GaWiS. A Blogn.phical Study ~ Springer.Verl ag New York Inc. 1981
AMS Subject Classification (1980): OlA SS, 01A70
ISBN 978-3-642-51444-9 DOl 10.1007/978-3-642-51443-2
ISBN 978-3-642-51443-2 (eBook)
CI P·Kul"Ztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Bilhler, Waller K.: GauB I w. K. Biihler.Berlin; Heidelbe rg; New York ; London; Paris; Tokyo: Springer, \986.
Oas Werk iSI urheberr~hl lich ge§chuizi. Die dadurch begriindeten Re. eine ganze Zahl. Dann sind die Koeffizienten von W' ebenfalls rational. Dieses spater wichtige Lemma wird von Gaufi hier ohne weite~e Motivation bewiesen, wohl um es dann ohne Unterbrechung des Gedankengangs unten benutzen zu konnen. §339. Sei n die Menge der p - 1 imaginaren Wurzeln von x P - 1 = 0, wobei p hier und spater stets eine ungerade Primzahl ist. Sei r in n. Dann ist rA = rJ.L genau dann, wenn >. == IL mod p ist. Sei
x
= x p-
1
+ x p - 2 + ... + x + 1.
Dann
fur jede positive oder negative ganze Zahl e, welche p nicht als Teiler enthalt. Weiterhin folgt SOWle
r
+ r e + r 2e + ... + r(p-l)e
=
o.
§340 enthalt einen entscheidenden Beweisschritt, eine Tatsache, die Gaufi ausdrucklich erwahnt. Sei tp(t, u, v, ... ) eine symmetrische Funktion der t, u, v, .... Dann kann tp als Summe von Ausdrucken der Form h(j)t Q u f3 v 1 ... geschrieben werden. Durch Substitution anderer Elemente aus n in tp, etwa t = a, u = b, v = c... erhalt man fur tp A
+ A'r +
A"r2
+ ... +
A (p-l)r P - 1 ,
wobei die A (i) eindeutig definiert sind und ganzzahlig fur h (i) ganzzahlig. Diese Beziehung kann verallgemeinert werden zu
und
In §341 zeigt Gaufi, dafi nicht aile Koeffizienten von P und Q ganzzahlig sein konnen, wenn P und Q zwei nichttriviale Faktoren von X sind. In heutiger Sprache bedeutet dies, dafi X irreduzibel uber den rationalen Zahlen ist. Der Beweis folgt direkt aus der Betrachtung der Wurzeln von P und Q unter Benutzung des Lemmas in §338. Eintrag 136 in Gaufi' Tagebuch zeigt, dafi es ihm erst im Jahr 1808, also sehr viel spater, gelang, die Irreduzibilitat
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der Gleichung Il(x -~) zu beweisen, wo ~ die primitiven Wurzeln von 1 durchliiuft und p keine Primzahl ist. §342 enthiilt eine kurze Ubersicht iiber das weitere Vorgehen. Zuerst muB X in Polynome kleinsten Grads z€rflillt werden. Wenn man p - 1 als Produkt der Zahlen ex,(3,I, ... schreiben kann, so kann man X in die entsprechenden Faktoren zerfallen. Zur Vereinfachung der Schreibweise fiihrt GauB die Abkiirzung [>'] fiir rA mit r in [] ein. §343 enthalt den zweiten entscheidenden Beweisschritt, namlich die Einfiihrung der primitiven Wurzel g mod p. Sei g eine beliebige primitive Wurzel von n. Dann sind die Zahlen 1, g, g2, . .. , gP-2 (nicht notwendigerweise in dieser Reihenfolge) kon
