Noch mehr Analysis Mehrdimensionale Integration, Fouriertheorie, Fun
Dieses Analysis-Buch für Studierende der Mathematik ab dem dritten Semester setzt die Bände „Etwas Analysis“ und „Etwas mehr Analysis" fort. Ausgangspunkt bei diesem Band ist eine anschauliche und leistungsfähige Darstellung der Lebesguetheorie, die auf d
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Noch mehr Analysis Mehrdimensionale Integration – Fouriertheorie – Funktionentheorie
Noch mehr Analysis
Jürgen Pöschel
Noch mehr Analysis Mehrdimensionale Integration, Fouriertheorie, Funktionentheorie
Jürgen Pöschel Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland
ISBN 978-3-658-05853-1 DOI 10.1007/978-3-658-05854-8
ISBN 978-3-658-05854-8 (eBook)
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Für Sima Amiskwia Muriel
Vorwort Nach Etwas Analysis und Etwas mehr Analysis ist dies der dritte Band einer Einführung in die Grundlagen der Analysis. Die erste Hälfte ist dem Lebesgueintegral und der Integration in höheren Dimensionen gewidmet. Danach folgen die Grundlagen der Lp -Räume, der Fouriertheorie und der Distributionen. Den Abschluss bildet eine kurze Einführung in die Funktionentheorie bis hin zum Residuenkalkül. Die Grundlegung des n-dimensionalen Lebesgueintegrals kommt völlig ohne klassische Maßtheorie aus, die für Studienanfänger ohnehin schwer zugänglich ist. Statt dessen beginnen wir, wie beim Cauchyintegral, mit dem Integral von Treppenfunktionen, wofür lediglich eine Maßfunktion für n-dimensionale Intervalle benötigt wird. Dies ist flexibel genug, um auch das Lebesgue-StieltjesIntegral und diskrete Masseverteilungen einzuschließen, vermeidet aber die Mühen, Maße auf σ -Algebren zu konstruieren. Der hier beschriebene Zugang geht übrigens auf die Analysisvorlesungen von Hirzebruch in den 60-er Jahren zurück [10] und scheint bisher kaum Spuren in der deutschen Lehrbuchliteratur hinterlassen zu haben. Das zweite Kapitel widmet sich speziell der höherdimensionalen Integration, genauer dem Satz von Fubini und der Transformationsformel. Bei letzterer folgen wir einer sehr schönen Darstellung von Lax [11, 12], der die Transformationsformel auf den eindimensionalen Fundamentalsatz zurückführt und mühsame mehrdimensionale Approximationen völlig vermeidet. In dieser Form kann der Beweis tatsächlich den Studentinnen und Studenten in der
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