Le mouvement brownien
Ce chapitre est consacré à la construction du mouvement brownien et à l’étude de certaines de ses propriétés. Nous introduisons d’abord le pré-mouvement brownien (terminologie non canonique!) qu’on définit facilement à partir d’une mesure gaussienne sur \
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Le mouvement brownien
R´esum´e Ce chapitre est consacr´e a` la construction du mouvement brownien et a` l’´etude de certaines de ses propri´et´es. Nous introduisons d’abord le pr´e-mouvement brownien (terminologie non canonique!) qu’on d´efinit facilement a` partir d’une mesure gaussienne sur R+ . Le passage du pr´e-mouvement brownien au mouvement brownien exige la propri´et´e additionnelle de continuit´e des trajectoires, ici obtenue via le lemme classique de Kolmogorov. La fin du chapitre discute quelques propri´et´es importantes des trajectoires browniennes, et e´ tablit la propri´et´e de Markov forte, avec son application classique au principe de r´eflexion.
2.1 Le pr´e-mouvement brownien Dans ce chapitre, on se place a` nouveau sur un espace de probabilit´e (Ω , F , P). D´efinition 2.1. Soit G une mesure gaussienne sur R+ d’intensit´e la mesure de Lebesgue. Le processus (Bt )t∈R+ d´efini par Bt = G(1[0,t] ) est appel´e pr´e-mouvement brownien. Proposition 2.1. Le processus (Bt )t≥0 est un processus gaussien (centr´e) de fonction de covariance (not.) K(s,t) = min{s,t} = s ∧ t. D´emonstration. Par d´efinition d’une mesure gaussienne, les variables Bt appartiennent a` un mˆeme espace gaussien, et (Bt )t≥0 est donc un processus gaussien. De plus, pour tous s,t ≥ 0, Z ∞
E[Bs Bt ] = E[G([0, s])G([0,t])] =
0
dr 1[0,s] (r)1[0,t] (r) = s ∧ t.
J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math¯matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_2, Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
t u
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16
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Proposition 2.2. Soit (Xt )t≥0 un processus al´eatoire a` valeurs r´eelles. Il y a e´ quivalence entre les propri´et´es suivantes : (i) (Xt )t≥0 est un pr´e-mouvement brownien; (ii) (Xt )t≥0 est un processus gaussien centr´e de covariance K(s,t) = s ∧ t; (iii) X0 = 0 p.s. et pour tous 0 ≤ s < t, la variable Xt − Xs est ind´ependante de σ (Xr , r ≤ s) et suit la loi N (0,t − s); (iv) X0 = 0 p.s. et pour tout choix de 0 = t0 < t1 < · · · < t p , les variables Xti −Xti−1 , 1 ≤ i ≤ p sont ind´ependantes, la variable Xti − Xti−1 suivant la loi N (0,ti −ti−1 ). D´emonstration. L’implication (i)⇒(ii) est la Proposition 2.1. Montrons l’implication (ii)⇒(iii). On suppose que (Xt )t≥0 est un processus gaussien centr´e de covariance K(s,t) = s ∧ t, et on note H l’espace gaussien engendr´e par (Xt )t≥0 . Alors X0 suit une loi N (0, 0) et donc X0 = 0 p.s. Ensuite, fixons s > 0 et notons Hs l’espace vectoriel engendr´e par (Xr , 0 ≤ r ≤ s), H˜ s l’espace vectoriel engendr´e par (Xs+u − Xs , u ≥ 0). Alors Hs et H˜ s sont orthogonaux puisque, pour r ∈ [0, s] et u ≥ 0, E[Xr (Xs+u − Xs )] = r ∧ (s + u) − r ∧ s = r − r = 0. Comme Hs et H˜ s sont aussi contenus dans le mˆeme espace gaussien H, on d´eduit du Th´eor`eme 1.2 que σ (Hs ) et σ (H˜ s ) sont ind´ependantes. En particulier, si on fixe t > s, la variable Xt − Xs est ind´ependante de σ (Hs ) = σ (Xr , r ≤ s). Enfin, en utilisant la forme de la fonction de covariance, on voit ais´ement que Xt − Xs suit la loi N (0,t − s).
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