Eindeutige Analytische Funktionen
Die eindeutigen analytischen Funktionen können von verschiedenen Gesichtspunkten aus untersucht werden. Die in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung gelangenden Fragen gruppieren sich um ein großes Hauptproblem. Einige allgemeine Bemerkungen über diese
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R. N evanlinna
Eindeutige analytische Funktionen 2. Auflage
Reprint
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1974
AMS-Subject Classifications (1970) 30 - 02, 30A24, 30A26, 30A30, 30A36, 30A68, 30A88
ISBN 978-3-662-06843-4 ISBN 978-3-662-06842-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-06842-7
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1
Vgl. F. NEVANLINNA [2J.
§ 3. Fall der p-fach punktierten Ebene.
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Es läßt sich zeigen, daß, wie in den Fällen p = 2, 3, die Kreisfigur K, welche vermittels dei Funktion x = x (z; al , ... , ap ) als Bild des Gebietes G = GI + G2 entsteht, mit der oben (Nr. 9) erklärten Figur F nicht nur topologisch äquivalent, sondeJ;n, bei geeigneter Wahl der zwei Teilgebiete GI und G2 , sogar identisch ist. Zu diesem Zweck untersuchen wir di~ Fundamentalsubstitutionen der zugehörigen Gruppe (5) der Decktransformationen von K, als welche, wie wir gesehen haben, ein System von p - 1 Substitutionen 51' ... , Sp -1 genommen werden kann, die einen Umlauf um je einen der Punkte z = al , ••• , ap _ 1 entsprechen. Wir wählen, nachdem der Punkt a. durch einen kleinen Kreis vom Radius e isoliert worden ist, in der Kreisscheibe 0 < /z - a./ < e einen beliebigen Punkt, und fixieren in ihm ein Funktionselement, das die Substitution Sv erfährt, wenn der Punkt z einen Umlauf um a. beschreibt. Setzt man dieses Element in der Kreisscheibe unbeschränkt fort, so entsteht eine vieldeutige Funktion, deren Zweige durch die von den Potenzen S~ (k = 0, ± 1, ... ) der Substitution S. gebildeten Untergruppe der Gruppe (5) zusammenhängen. Als eine Substitution, die den Einheitskreis invariant läßt, ist S. entweder elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch (Nr. 6). Wir werden zuerst zeigen, daß die letztgenannte Möglichkeit zutrifft. Hierbei werden wir wesentlich die evidente Tatsache benutzen, daß der Punkt x(z) für z -+ a. gegen den Rand / x I = 1 rücken muß. Nehmen wir zunächst an, S. sei eine elliptische Transformation Cf (x) =
mit den Fixpunkten
x-
Cl •
~
X -
C2
Cl
Cl' C2 (/ Cl/
