Quadratische Formen und Orthogonale Gruppen
Aus der Arithmetik der binären quadratischen Formen, die Gauß in abgeschlossener Form in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte, erwuchsen zwei Disziplinen, die Lehre von den quadra tischen Formen beliebiger Variablenzahl auf der einen Seite und
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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFT EN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· E. HOPF · H. HOPF · F. RELLICH F. K. SCHMIDT · B. L.VAN DER WAERDEN BAND LXIII
QUADRATISCHE FORMEN UND ORTHOGONALE GRUPPEN VON
MARTIN EICHLER
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1952
QUADRATISCHE FORMEN UND
ORTHOGONALE GRUPPEN VON
MARTIN EICHLER DR . SC. NAT. PROFESSOR AN DER UN!VERS!TAT MONSTER l. WESTF.
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1952
ISBN 978-3-662-01213-0 ISBN 978-3-662-01212-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-01212-3 ALLE RECHTE, JNSBESONDERE DAS DER OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN. COPYRJGTH 1952 BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEJDELBERG URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG., BERLIN • GOTTINGEN • HEIDELBERG 1952
Vorwort. Aus der Arithmetik der binären quadratischen Formen, die Gauß in abgeschlossener Form in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte, erwuchsen zwei Disziplinen, die Lehre von den quadratischen Formen beliebiger Variablenzahl auf der einen Seite und die .-\rithmetik der algebraischen Zahlkörper und weiter die der hyperkomplexen Systeme auf der anderen. Noch im Jahre 1898, als P. Bachmann seine groß angelegte "Arithmetik der quadratischen Formen" (I. Abt. Leipzig 1898, II. Abt. Leipzig 192:1) schrieb, hielten sich beide im Umfang und in der Wertschätzung der Mathematiker die Waage. In den nachfolgenden Jahren änderten sich die Verhältnisse grundlegend; die letztgenannte Disziplin nahm deutlich die Vorrangstellung ein. Die Ursache hierfür war die Tatsache, daß es gelang, die gesamte Forschung auf dem Gebiet der Zahlkörper und Algebren im Grunde einer einzigen zentralen Aufgabe zu unterstellen: dem Aufbau dieser Gebilde aus elementaren Bausteinen. Es unterliegt keinem Zweifel, daß eine so geartete Problemstellung der Frage nach dem Sinn und ·wesen des Zahlbegriffs näher kommt als die Gewinnung spezieller Einzelresultate. Erst die Arbeiten von H. Hasse, E. Hecke und C. L. Siegel in den letzten Jahrzehnten haben auch auf dem Gebiet der quadratischen Formen einer ähnlichen Wendung zum Grundsätzlichen hin zum Durchbruch verholfen, die sich hier nur langsam vorbereitet hatte. Die Primzahlen erweisen sich heute hier wie bei den Zahlkörpern als der Schlüssel zum Verständnis der ganzen Theorie. Es ist das Ziel des vorliegenden Buches, einen weiteren Leserkreis mit diesen neuen Gedanken vertraut zu machen. Die gestellte Aufgabe machte es erforderlich, die gesamte Theorie von den Anfängen an neu zu durchdenken. Dabei hat mich die folgende These geleitet: Die Lehre von den quadratischen Formen ist Geometrie in einem mit einer der euklidischen vergleichbaren Metrik versehenen Vektorraum über einem beliebigen Körper, speziell einem algebraischen Zahlkörper; die Auswirkungen der jeweils besonderen Körpereigenschaften auf die Geometrie sind zu studieren. Geometrische Vorstellungen haben im Zusammenhang mit quadratischen Formen von jeher eine Rolle gespielt, doch dienten sie vornehmlich der Veranschaulichung bereits errechneter Er
