Statistische Analyse linearer Regelsysteme
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x
,
< 0
beschriebene Raleigh-Verteilung (Bild 1.12). Hier ist
Um mit Sicherheit entscheiden zu können, welche Verteilung bei einem gegebenen Satz von Zahlen vorliegt, sind große Mengen von Daten zu analysieren. Hierfür wurden in der Statistik besondere Verfahren entwickelt. In vielen Fällen ist die Verteilung durch die Entstehung der Meßwerte bekannt; häufig genügt es, näherungsweise eine Normalverteilung anzunehmen. 1.5.3.
Unstetige Verteilung
Wegen der einfachen Erzeugung und Verarbeitung werden als statistische Testsignale gerne binäre Funktionen verwendet, die in statistischer Folge die normierten Werte ±1 annehmen und den Mittelwert Null haben. Bild 1.13 zeigt einen Ausschnitt einer solchen Funktion. Bei vernachlässigbarer Umschaltzeit und gleicher Wahrscheinlichkeit der Werte ±1 gilt die in Bild 1.14b gezeichnete unstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung; die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (Bild 1.14a) besteht aus zwei Impulsen, jeweils mit der Fläche 1/2. Dies entspricht ja gerade der Wahrscheinlichkeit, daß x den Wert +1 bzw. -1 annimmt. Für Mittelwert und Streuung gelten 2' o , 1 , x 1.
33
x (t) .--
1
.--
r-
.-
t
-
Bild 1.13
-
d f-
w (x)
w(x)
b)
a)
Bild 1.14
'-
'-
-,
x
-1
x
Die Umschaltzeitpunkte sind zunächst beliebig angenommen, so daß auch beliebig schnell aufeinanderfolgende Schaltvorgänge möglich sind. Aus praktischen Gründen bevorzugt man oft ein synchronisiertes statistisches Binärsignal , bei dem die Schaltvorgänge in einem festen Zeitraster vT liegen. Mittelwerte und Streuung werden dadurch nicht geändert (Abs. 6.5). 1.6.
Lineare und nichtlineare übertragung
Wird eine statistische Wertefolge y(v) oder eine kontinuierliche Funktion y(t), deren Amplitudenwerte die Verteilungsdichte wy(y) aufweist, durch ein augenblicklich wirkendes, möglicherweise nichtlineares übertragungsglied verformt (Bild 1.15), so stimmt die Amplitudenverteilung wx(x) des Ausgangssignals x im allgemeinen nicht mit der des Eingangssignals
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überein. Falls die Obertragungskennlinie x=f(y) jedoch monoton ansteigt, df(y) > 0, gilt
CfY-
Wx (x -< xl)
---.I,.11
= Wy (y < YI)
~II----:-:---, ·
Bild 1.15
Die Wahrscheinlichkeit für x ~ Xl ist also gleich der Wahrscheinlichkeit für y ~ YI' wobei Y1' Xl zusammengehörige Werte sind. Differentiation nach y unter Anwendung der Kettenregel 1 iefert dW
x
ax
dW
dx
af
Qy
oder mit dW x
ax Wx(x)
wx(x)
#=
1 FIYT Wy(y)
Wy(y) ,
dx
Qy
f I (y) , (15)
Als Beispiel sei eine statistische Wertefolge y(v) mit konstanter Verteilungsdichte (Bild 1.16) für betrachtet. Sie werde durch ein nichtlineares Obertragungsglied mit der Kennlinie x=y3 in eine hyperbolische Verteilungsdichte umgeformt,
35
~ 3y
al
-y,
1
~ 1
1.
cl
.1
x
x
Y
Bild 1.16
WJ(Y)
x A
y
-I
,
.
x
0)
Bild 1.17 In Bild 1.17 ist der Fall einer linearen Obertragung mit Begrenzung angedeutet. Alle Eingangswerte im Bereich -l~y~+l werden dabei linear abgebildet, während außerhalb des linearen Bereiches liegende Werte auf x = ±1 führen. Die Wahrschein-
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lichkeit für y ~ -
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