A Mathematik und Statistik
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Mathematik P. Ruge, C. Birk 1 Mengen, Logik, Graphen
Gewisse Standard-Zahlenmengen werden durch bestimmte Buchstabensymbole gekennzeichnet.
1.1 Mengen
Leere Menge
enthält kein Element ∅ = {}
1.1.1 Grundbegri−e der Mengenlehre
Endliche Menge
enthält endlich viele Elemente
Mächtigkeit |M|
auch Kardinalität card(M) einer endlichen Menge M ist die Anzahl ihrer Elemente.
Eine Menge M ist die Gesamtheit ihrer Elemente x. Man schreibt x ∈ M (x ist Element von M) und fasst die Elemente in geschweiften Klammern zusammen. Eine erste Möglichkeit der Darstellung einer Menge ist die Aufzählung ihrer Elemente: M = {x1 , x2 , . . . , xn } .
(1-1)
Weit reichender ist folgende Art der Darstellung: Eine Menge M im klassischen Sinn ist eine Gesamtheit von Elementen x mit einer bestimmten definierenden Eigenschaft P, die eine eindeutige Entscheidung ermöglicht, ob ein Element a aus einer Klasse („Vorrat“) A zur Menge M gehört. a∈M
falls
P(a) wahr: μ = 1 ,
aM
falls
P(a) nicht wahr: μ = 0 .
Die Zugehörigkeitsfunktion μ(a) ordnet jedem Objekt einen der Werte 0 oder 1 zu. Man schreibt M = {x | x ∈ A, P(x)} .
(1-2)
M ist die Menge aller Elemente aus A, für welche die Eigenschaft P zutrifft. Beispiel: M1 = {x | x ∈ C, x4 + 4 = 0} = {1 + j, 1 − j, −1 + j, −1 − j} . j2 = −1 . Tabelle 1-1. Bezeichnungen der Standard-Zahlenmengen
Natürlich Ganz N Z
Rational Q
Reell R
Gleichmächtigkeit A ist gleichmächtig B, A ∼ B, wenn sich jedem Element von A genau ein Element von B zuordnen lässt und umgekehrt. Zum Beispiel: N\{0} = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} , U = {1, 3, 5, 7, 9, . . .} . Zu jedem Element k aus N\{0} gibt es ein Element 2k − 1 aus U und umgekehrt. Zudem sind alle Elemente von U in N\{0} enthalten. Unendliche Menge Eine Menge A ist unendlich, falls sich eine echte Teilmenge B von A angeben lässt, die mit A gleichmächtig ist. Abzählbarkeit
Jede unendliche Menge, die mit N gleichmächtig ist, heißt abzählbar.
Überabzählbarkeit Eine Menge M heißt überabzählbar, falls M nicht abzählbar ist. Kontinuum
Komplex C
H. Czichos, M. Hennecke (Hrsg.), HÜTTE – Das Ingenieurwissen, DOI 10.1007/978-3-642-22850-6_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
Jede Menge, welche die Mächtigkeit der reellen Zahlen hat, heißt Kontinuum.
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P. Ruge C. Birk M. Wermuth
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Fuzzy-Menge (unscharfe Menge). Unter einem Element f einer Fuzzy-Menge versteht man ein Paar aus einem Objekt x und der Bewertung μ(x) seiner Mengenzugehörigkeit mit Werten aus dem Intervall [0, 1]; d. h., 0 ≤ μ ≤ 1. Die Elemente werden einzeln aufgezählt, Element f = (x, μ(x)), μ ∈ [0, 1] , F = { f1 , f2 , . . . , fn } , oder durch geschlossene Darstellung der Objekte und der Bewertung wie im folgenden Beispiel. Die Fuzzy-Mengen F1 = {(x, μ(x))| x ∈ R und μ = (1 + x2 )−1 } , F2 = {(x, μ(x))| x ∈ R und μ = (1 + x4 )−4 } können mit den die Unschärfe andeutenden Namen F1 = NAHENULL, F2 = SEHRNAHENULL belegt werden. Weitere Einzelheiten und Anwendungen siehe in der Literatur [1]–[4
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