Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff Eine Vorlesung
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MATHEMATISCHE N WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH· E. HOPF H. HOPF . W. MAAK . W. MAGNUS . F. K. SCHMIDT K. STEIN· B. L. VAN DER WAERDEN BAND XCVI
AUFBAU DER GEOMETRIE AUS DEM SPIEGELUNGSBEGRIFF VON
FRIEDRICH BACHMANN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
AUFBAU DER GEOMETRIE AUS DEM SPIEGELUNGSBEGRIFF EINE VORLESUNG VON
FRIEDRICH BACHMANN DR. PHIL.. O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT KIEL
MIT 160 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG G:MBH
ISBN 978-3-662-01235-2 ISBN 978-3-662-01234-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-01234-5 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN OHNE AUSDRÜCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFÄLTIGEN
©
BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1959
URSPRUNOLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN • GöTTINGEN • HEIDELBERG 1959 SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1959
KURT REIDEMEISTER GEWIDMET
Vorwort In dieser Vorlesung wird ein Aufbau der ebenen metrischen Geometrie entwickelt, bei dem von den Spiegelungen und der von den Spiegelungen erzeugten Bewegungsgruppe systematisch Gebrauch gemacht wird. Für die gewohnte euklidische Ebene und auch für die klassischen nichteuklidischen Ebenen kann man leicht die folgenden Tatsachen feststellen: Den Punkten und den Geraden entsprechen eineindeutig die Spiegelungen an den Punkten und die Spiegelungen an den Geraden, also involutorische Elemente der Bewegungsgruppei. Geometrische Beziehungen wie die Inzidenz von Punkten und Geraden und die Orthogonalität von Geraden lassen sich durch gruppentheoretische Relationen zwischen den zugehörigen Spiegelungen wiedergeben. Daher kann man geometrische Sätze in Sätze über Spiegelungen und Spiegelungsprodukte übersetzen. Man wird so dazu geführt, die Spiegelungen zum Gegenstand geometrischer Betrachtung zu machen, und in der Bewegungsgruppe "Geometrie der Spiegelungen" zu betreiben. Faßt man die Spiegelungen selbst als geometrische Gegenstände, nämlich als neue "Punkte" und "Geraden" auf, so kann man für sie geometrische Beziehungen wie "Inzidenz" und "Orthogonalität" durch gruppentheoretische Relationen so definieren, daß der neue Bereich ein treues Abbild der ursprünglich gegebenen Punkte und Geraden mit ihrer Inzidenz, Orthogonalität usw. ist. Durch den gruppentheoretischen Kalkül der Spiegelungen hat man aber in dem neuen Bereich die Möglichkeit, mit den geometrischen Gegenständen zu rechnen, und gewinnt damit ein methodisches Hilfsmittel für das Beweisen geometrischer Sätze 2 • Von diesem Gedanken wollen wir beim Aufbau der ebenen metrischen Geometrie Gebrauch machen. Wir werden den axiomatischen Aufbau abstrakt gruppentheoretisch beginnen und folgendermaßen verfahren: Als Axiome postulieren wir einige Gesetze über involutorische Gruppenelemente, und betrachten die aus involutorischen Elementen erzeugten Gruppen, in denen diese
