Theorie der Differentialgleichungen Vorlesungen aus dem Gesamtgebiet
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtlic
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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE HAMBURG
M. BORN
C. RUNGE
GÖTTINGEN
GÖTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT GÖTTINGEN
BAND VI
THEORIE DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON LUDWIG BIEBERBACH
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1926
THEORIE DER DIFFERENTIAI_JGLEICHUNGEN VORLESUNGEN AUS DEM GESAMTGEBIET DER GEWÖHNLICHEN UND DER PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGE N VON
LUDWIG BIEBERBACH 0. Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER FRIEDRICH·WILHELMS·- UNIVERSITÄT IN BERLIN MITGLIED DER PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN
ZWEITE NEUBEARBEITETE AUFLAGE MIT 22 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1926
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN. VORBEHALTEN COPYRIGHT 1o eine Schar von geraden Linien. Im zweiten Falle aber wird X -j'(p). Die:-; mit \' xp j (p)' cl. h. mit
,.
~
- Pi'(PJ
+ i(P)
zusammen gibt eme Parameterdarstellung einer bestimmten Kurve der x, y-Ebene mit p als Parameter, die gleichfalls der Differentialgleichung genügt. Iknn auch für diese Kurn: wird, wie man leicht ausrechnet. _\'o
C~.
p'
Allerdings muH man dazu noch nmwssetzen, daß j eine zweite nicht verschwindende Ableitung besitzt. Diese Einzelkurve, die zu der Geradenschar noch hinzutritt, nennt man ein singuläres Integral, während man im C~egensatz clazu die im allgemeinen Integral enthaltenen Einzelintegrale ab partikuläre Intc{!,ralc bezeichnet. Das Vorkommen solcher singulärer Integrale, das Frn!or zum ersten :\Iale im Jahre 1713 bemerkte, scheint im \Viderspruch mit unseren bisherigen Auffassungen üher die Integrale der Differentialgleichungen zu stehen. \Vir wollen daher ihr Vorkomnwn mit clem allgemeinen Integrale in Zusammenhang bringen und damit ;·ine .\.ufklärung geben, die Lagrange 1774 gefunden hat. Zu dieser . \ufklärung führt uns die Bemerkung, daß im Falle der Clairal!!sclwn I >iffercntialgleichung das singuläre Integral die Enveloppc d.C'r ein paraml'trigen Kurvenschar des allgemeinen 1ntt>grales i:-;t. \\'ill m aM.
Es soll eine Lösung der Differentialgleichung dw
dz
==
f(z, w)
gefunden werden, die für z = z0 den Wert ur= ur0 annimmt. Man kann auch jetzt die Lösung nach der Methode der sukzessiven Approximationen finden. Nur müssen jetzt einige Abschätzungen etwas anders gewonnen werden. Wir benötigen vor allem eine Abschätzung
I f(z, w1) - f(z, ur 2) I - h)l) I ' = - !(x + h) 2 (für x 0,
oder ständig P(x(t), y(t))
--2
so daß also gegen Annahme lim t
)>
00
b)
I x(t) I =
) (t-m,
oo sein müßte.
Stellen
(a, b), für welche P(a, b) = 0 und Q(a, b) = 0 ist, nannten wir S. 54 singuläre Stellen der Differentialgleichung (1), wofern nicht das gleichzeitige Verschwinden von P (x, y) und Q(x, y) durch Beseitigung
~4.
Allgemeine Sätze über den Verlauf der Integralkurven im reellen Gebiet.
63
eines gemeinsamen Faktors zu beheben ist. Übertragen wir die dort gegebene Definition sinngemäß a
