Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff
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Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff Mit 160 Abbildungen
Zweite erganzte Auflage
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1973
Friedrich Bachmann Mathematisches Seminar der Universitat Kiel
GeschaftsfUhrende Herausgeber
B. Eckmann Eidgeniissische Technische Hochschule ZUrich
B. L. van der Waerden Mathematisches Institut der Universitat ZUrich
AMS Subject Classification (1970) 15A63, 20G 15, 50A05, 50AlO, 50A15, 50A20, 50A25, 50BlO, 50B25, 50B35, 50C05, 50Cl5, 50C25, 50D05, 50DI0, 50D20, 50D25, 50D30
ISBN-13: 978-3-642-65538-8 DOl: 10.1007/978-3-642-65537-1
e-ISBN-13: 978-3-642-65537-1
Das Werk ist urheberrechtlich geschUtzt. Die dadurch begrUndeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fUr gewerbliche Zwecke is! gemaf3 § S4 UrhG eine VergUtung an den Verlag zu zahlen, deren Hiihe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. Copyright © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1959, 1973. Library of Congress Catalog Card Number 72-96858. Gesamtherstellung: Universitatsdruckerei H. StUrtz AG, WUrzburg. Sof'tcover reprint of the hardcover 2nd edition 1959
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Beriicksichtigung der Anwendungsgebiete Band 96
Herausgegeben von J.L.Doob A.Grothendieck
E.Heinz F. Hirzebruch E. Hopf W. Maak S. MacLane W. Magnus J. K. Moser M. M. Postnikov F. K. Schmidt D. S. Scott K. Stein
crescha;rts;ruhrende Herausgeber B. Eckmann und B. L. van der Waerden
KURT REIDEMEISTER GEWIDMET
Vorwort zur ersten Auflage In dieser Vorlesung wird ein Aufbau der ebenen metrischen Geometrie entwickelt, bei dem von den Spiegelungen und der von den Spiegelungen erzeugten Bewegungsgruppe systematisch Gebrauch gemacht wird. Ftir die gewohnte euklidische Ebene und auch fUr die klassischen nichteuklidischen Ebenen kann man leicht die folgenden Tatsachen feststellen: Den Punkten und den Geraden entsprechen eineindeutig die Spiegelungen an den Punkten und die Spiegelungen an den Geraden, also involutorische Elemente der Bewegungsgruppe 1 • Geometrische Beziehungen wie die Inzidenz von Punkten und Geraden und die Orthogonalitat von Geraden lassen sich durch gruppentheoretische Relationen zwischen den zugehorigen Spiegelungen wiedergeben. Daher kann man geometrische Satze in Satze tiber Spiegelungen und Spiegelungsprodukte tibersetzen. Man wird so dazu gefUhrt, die Spiegelungen zum Gegenstand geometrischer Betrachtung zu machen, und in der Bewegungsgruppe "Geometrie der Spiegelungen" zu betreiben. FaBt man die Spiegelungen selbst als geometrische Gegenstande, namlich als neue "Punkte" und "Geraden" auf, so kann man fUr sie geometrische Beziehungen wie "Inzidenz" und "Orthogonalitat" durch gruppentheoretische Relationen so definieren, daB der neue Bereich ein treues Abbild der ursprtinglich gegebenen Punkte un
