Classes Unipotentes et Sous-groupes de Borel
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946 Nicolas Spaltenstein
Classes Unipotentes et Sous-groupes de Borel
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1982
Auteur
N. Spaltenstein Forschungsinstitut fur Mathematik, ETH-Zentrum 8092 Zurich, Switzerland
AMS Subject Classifications (1980): 14 LXX, 20-02, 20 G XX ISBN 3-540-11585-4 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-11585-4 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.
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A rna mere
Introduction
B
L'objet principal de ces notes est l'etude de la variete lement x d 'un groupe a LqebrLque affine de
G
G
, en particulier dans Ie cas ou
sur la variete
x
G
B
est unipotent et
G
des points fixes d 'un e-
x
des sousgroupes de Borel G
reductif.
Cette variete a ete l'objet de divers travaux. Mentionnons en particulier ceux de Steinberg [421, [43J, Vargas [45]
et Cross (these, Durham), dont les methodes sont
semblables acellesutilisees ici. Presque tous se bornent a considerer Ie cas ou est connexe; en fait ces techniques s'adaptent souvent au cas ou
G
G
n'est pas connexe,
pour autant qu'on utilise les bonnes formulations, et on a essaye de travailler dans cette situation. En particulier, les groupes reductifs ne sont pas supposes forcement connexes. Comme groupes reductifs non connexes apparaissant naturellement, on trouve 02n
(ou intervient la symetrie d'ordre
D et Ie groupe des colinean) tions et correlations d'un espace projectif (ou intervient la symetrie d'ordre 2 du
graphe
An)
2
du graphe
• D'autres groupes proviennent de la symetrie d'ordre
de la symetrie d'ordre
2
du graphe
E
3 du graphe D et 4 . On a ainsi deux familIes et deux cas excep-
6 tionnels. Quand la caracteristique du corps de base est egale
a
l'ordre de la symetrie,
on obtient de nouvelles classes unipotentes. Avec ces classes unipotentes et celles des groupes simples connexes, on a essentiellement toutes les classes unipotentes des groupes reductifs (en supposant resolus certains problemes concernant Ie groupe fini GIGo) • Une premiere partie "Notations et rappels" a pour but de fixer les notations et de formuler certaines definitions et quelques resultats sous une forme appropriee a l'usage qui en est fait. En particulier, Ie groupe de Weyl est defini comme etant l'enG semble des GOorbites dans BGxB muni de la structure du groupe convenable (voir par exemple
[19J). a
Le chapitre I est consacre
l'etude des classes unipotentes des groupes reductifs.
Au paragraphe 1 on montre en particulier comment se ramener aux cas
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