Formules de genres et conjecture de Greenberg
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Formules de genres et conjecture de Greenberg Thong Nguyen Quang Do1
Received: 20 June 2017 / Accepted: 9 October 2017 © Fondation Carl-Herz and Springer International Publishing AG 2017
Abstract Greenberg’s well known conjecture, (GC) for short, asserts that the Iwasawa invariants λ and μ associated to the cyclotomic Z p -extension of any totally real number field F should vanish. In his foundational 1976 paper, Greenberg has shown two necessary and sufficient conditions for (GC) to hold, in two seemingly opposite cases, when p is undecomposed, resp. totally decomposed in F. In this article we present an encompassing approach covering both cases and resting only on “ genus formulas ”, that is (roughly speaking) on formulas which express the order of the Galois (co-)invariants of certain modules along the cyclotomic tower. These modules are akin to class groups, and in the end we obtain several unified criteria, which naturally contain the particular conditions given by Greenberg. Keywords Genus formulas · Greenberg’s conjecture · Unified criteria Résumé La conjecture bien connue de Greenberg, (CG) en abrégé, prédit la nullité des invariants λ et μ d’Iwasawa attachés à la Z p -extension cyclotomique de tout corps de nombres totalement réel F. Dans son article fondateur de 1976 , Greenberg a montré deux conditions nécessaires et suffisantes pour la validité de (CG) dans deux cas apparemment opposés, quand p est non décomposé, resp. totalement décomposé dans F. Dans cet article de synthèse, suivant une approche qui repose uniquement sur des “formules de genres”, i.e., sans trop de précision, des formules donnant l’ordre des (co)-invariants galoisiens de certains modules apparentés aux groupes de classes le long de la tour cyclotomique, nous produisons plusieurs critères unifiés qui contiennent naturellement les conditions particulières de Greenberg. Mathematics Subject Classification 11 R 23
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Thong Nguyen Quang Do [email protected] Université de Franche-Comté, CNRS UMR 6623, 16, route de Gray, 25030 Besançon Cedex, France
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T. Nguyen Quang Do
1 Introduction Pour un corps de nombres totalement réel F et un nombre premier p (supposé impair pour simplifier), la conjecture de Greenberg, notée (CG) dans la suite, prédit la nullité des invariants d’Iwasawa λ et μ associés à la Z p -extension cyclotomique F∞ = ∪n≥0 Fn de F. Plus généralement, pour un corps de nombres quelconque F, soient An = A(Fn ) (resp. An = A (Fn )) le p-groupe des classes d’idéaux (resp. des ( p)-classes d’idéaux) de Fn , A∞ = A(F∞ ) = lim An , A∞ = A (F∞ ) = lim An , →
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X ∞ = X (F∞ ) = lim An , X ∞ = X (F∞ ) = lim An .
Nous introduirons d’autres définitions et notations dans le cours du texte, mais elles seront résumées dans une liste récapitulative à la fin de l’article. Alors: Proposition 1.1 (voir [9,27]) Pour un corps de nombres F (pas forcément totalement réel), les conditions suivantes sont équivalentes (i) X (F∞ ) est fini (ii) A(F∞ ) est nul (iii) Tous les ordres des An sont bornés dans la tour cyclot
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