Die Teilbarkeit
Wie im vorigen Kapitel ist \( \mathbb{F} \) [X] der Polynomring über dem Körper \( \mathbb{F} \) . Die Teilbarkeitslehre in diesem Ring ist weitgehend analog zu der in ℤ. Wir werden diese Analogie nicht dauernd verbalisieren und formulieren hauptsächlich
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Hans Kurzweil
Endliche Körper Verstehen, Rechnen, Anwenden
Zweite, überarbeitete Auflage
123
Prof. Dr. Hans Kurzweil Mathematisches Institut Friedrich-Alexander-Universität Bismarckstraße 1 1/2 91054 Erlangen [email protected]
ISBN 978-3-540-79597-1
e-ISBN 978-3-540-79598-8
DOI 10.1007/978-3-540-79598-8 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 11T06, 11T30, 11T71 © 2008, 2007 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de
Vorwort zur zweiten Auflage Ich freue mich, dass die zweite Auflage schon ein Jahr nach dem Erscheinen der erste Auflage m¨ oglich wurde. Dies gab mir die Gelegenheit, einige Fehler zu korrigieren und den Text in Teilen umzuformulieren. Dabei habe ich Anregungen gerne aufgegriffen und hoffe, dass Studierende und mathematisch Interessierte nun noch besser endliche K¨ orper verstehen und anwenden k¨onnen. Von Kollegen erfuhr ich, dass sie dieses Buch auch als Leitfaden f¨ ur eine elementare Einf¨ uhrung in die Algebra verwenden. Die Grundbegriffe der Algebra dienen hier n¨ amlich einem klaren und greifbaren Ziel: Die Bestimmung der endlichen K¨ orper. Ich w¨ urde mich sehr freuen, wenn Mathematiker wie Anwender“ gleicher” maßen mit dem vorliegenden Buch ihre Freude an diesem aktuellen mathematischen Thema entdecken w¨ urden. Erlangen, Juli 2008
Hans Kurzweil
Einleitung Ein endlicher K¨ orper F ist ein Zahlbereich mit nur endlich vielen Zahlen, in dem die vier Grundrechnungsarten ausgef¨ uhrt werden k¨onnen, man kann addieren, substrahieren, multiplizieren und dividieren. Dabei ist die Anzahl |F| der Elemente im
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