Hausdorffs Studien zur Dimensionstheorie
In der topologischen Dimensionstheorie beschäftigt man sich mit Dimensionsfunktionen, d. h. Abbildungen D der Klasse aller topologischen Räume in die Menge ℕ ∪ -1, +∞, wobei ℕ die Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen bedeutet, derart, daß gelten: 1) Si
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GesammelteWerke
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Felix Hausdorff vor dem Hauptgebaude der Universitat Bonn, Marz 1932 Photographie: Erna BannoWy spatere Ehefrau des Mathematikers Ernst Witt
FELIX HAUSDORFF Gesammelte Werke
einschliefilich der unter dem Pseudonym Paul Mongre erschienenen philosophischen und literarischen Schriften und ausgewahlter Texte aus dem NachlaC
Verantwortlich fiir die gesamte Edition: Egbert Brieskorn, Friedrich Hirzebruch, Walter Purkert, Reinhold Remmert und Erhard Scholz
FELIX H A U S D O R F F
Gesammelte Werke
BAND I
Felix Hausdorff (1868-1942) Hausdorff als akademischer Lehrer Arbeiten zur Mengenlehre BAND II
Grundziige der Mengenlehre (1914) BAND III
Mengenlehre (1927,1935) Deskriptive Mengenlehre und Topologie BAND IV
Analysis, Algebra und Zahlentheorie BANDV
Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie BAND VI
Geometrie, Raum und Zeit BAND VII
Philosophisches Werk BAND VIII
Literarisches Werk BAND IX
Korrespondenz
FELIX HAUSDORFF Gesammelte Werke BAND III
Mengenlehre (1927,1935) Deskriptive Mengenlehre und Topologie
Herausgegeben von U. Feigner, H. Herrlich, M. Husek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preufi, W. Purkert und E. Scholz
Springer
Herausgeber U. Feigner, H. Herrlich, M. Husek, V. Kanovei, P. Koepke, G. PreuC, W. Purkert und E. Scholz Die Adressenfinden sich am Buchende,
ISBN 978-3-540-76806-7
e-ISBN 978-3-540-76807-4
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaiUierte bibHografische Daten sind im Internet iiber \ nicht jedes be A.
Durch deren Verbindung erhalten wir vier mogliche Falle, von deneis die drei ersten durch eine beigefligte Forme! bezeichnet werden: (1) (2) (3) (4)
Jedes Jedes Nicht Nicht
asB^ asB^ jedes jedes
jedes nicht asB^ aeB^
be A : A=B jedes bsA : A cz B jedes beA -. A z> R nicht jedes beA.
Im Fall (1) sind in der Tat beide Mengen gleich^ naeh der friiherai Erklarung. Im Fall (2) enthalt A nur Elemente von J^^ aber nicht aHe, wodurch sich A als die kleinere, B als die groBere Menge charakterisierfc; dies wird durch die Bezeichnung A^zB ZIHU Ausdruck gebracht, die an [6] die Zahlenbeziehung a < p erinnern soil. Im Fall (3) steht es umgekehrfc, sodafi ^ :=> JB so viel wie B ^A ist. Im allgemeinen wird keiner dieser Falle, sondern der Fall (4) eintreten, zu dessen besonderer Bezeichnung kein AnlaB besteht. Die Relation „kleiner als" ist transitw^ d. h. aus Aa^ b < a , b||a. Ist a = hj ftgc, so ist ape, wenn Q eine der vier Relationen bedeutet. Ist a < b, b < c, so ist a < c; die Relation < ist transitiv. Jede unendliche Machtigkeit ist ^ ^ o (Satz I); IJ^Q ist die kleinste unendliche Machtigkeit. Jede unendliche Teilmenge einer abzShlbaren Menge (z. B. die Menge der Primzahlen) ist abzahlbar, da ihre Machtigkeit ^ K ^ iind ziigleich >fc ' • -i ^mmT> ' ' ')
und insbesondere die zugehorigen Elemente ^ ^ ^ ; sie bilden in B^ eine Menge D^ von einer Machtigkeit ^ a^ (denn es gi
