Markovprozesse und stochastische Differentialgleichungen Vom Zufalls
In diesem Lehrbuch werden einige Themen aus der Stochastik behandelt, die auf dem Begriff des Markovprozesses aufbauen. Dabei sind Markovprozesse stochastische Prozesse, für welche die Prognose für das zufällige Verhalten in der Zukunft nur von der gegenw
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Ehrhard Behrends
Markovprozesse und stochastische Differentialgleichungen Vom Zufallsspaziergang zur Black-Scholes-Formel
Prof. Dr. Ehrhard Behrends Freie Universität Berlin, Deutschland [email protected]
ISBN 978-3-658-00987-8 DOI 10.1007/978-3-658-00988-5
ISBN 978-3-658-00988-5 (eBook)
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Barbara Gerlach
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Einleitung In diesem Buch werden einige Themen aus der Stochastik behandelt, die auf dem Begriff des Markovprozesses aufbauen. Es ist die Ausarbeitung einer Vorlesung, die 2011 an der Freien Universit¨ at Berlin gehalten wurde. Markovprozesse sind stochastische Prozesse, f¨ ur welche die Prognose f¨ ur das zuf¨allige Verhalten in der Zukunft nur von der gegenw¨ artigen Position abh¨angt. Der Aufbau ist wie folgt: • In Kapitel 1 beginnen wir mit einigen Vorbereitungen: An welche Sachverhalte aus der elementaren Stochastik sollte man sich erinnern? Was wird von der Maßtheorie gebraucht? Was sind stochastische Prozesse, Filtrationen und Stoppzeiten? Besonders wichtig f¨ ur das Folgende wird dann die Definition der bedingten Erwartung sein. • Erste Tatsachen zu Markovprozessen werden in Kapitel 2 eingef¨ uhrt: Es gibt eine Definition und einen Charakterisierungssatz ( Markovprozesse ” sind Prozesse, bei denen die Zukunft von der Vergangenheit unter der Bedingung der Gegenwart unabh¨ angig ist.“ ) • Im n¨achsten Kapitel, in Kapitel 3 , geht es um den Spezialfall, dass die auftretenden Prozesse nur endlich oder h¨ochstens abz¨ahlbar viele verschiedene Werte annehmen k¨ onnen. Man muss dann noch unterscheiden, ob die Zeit als diskret oder als kontinuierlich aufgefasst wird. Im diskreten Fall lassen sich fast alle interessierenden Fragen beantworten (wenigstens im Fall endlicher Zustandsr¨ aume), der kontinuierliche Fall ist technisch weit aufw¨andiger. • In Kapitel 4 besch¨ aftigen wir uns dann mit einer Frage aus der Entscheidungstheorie. Es ist ein Zufal
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