Sur le minimum de la fonction de Brjuno
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Mathematische Zeitschrift
Sur le minimum de la fonction de Brjuno Michel Balazard1 · Bruno Martin2 Received: 13 December 2018 / Accepted: 4 February 2020 © Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2020
Abstract The Brjuno function attains a strict global minimum at the golden section. Keywords Gauss transformation · Brjuno function · Golden section Mathematics Subject Classification 26D07 · 11A55 La transformation de Gauss, α(x) = {1/x}, où {t} désigne la partie fractionnaire du nombre réel t, est bien définie sur l’ensemble X = ]0, 1[ \ Q, et à valeurs dans X . On peut donc ses itérées successives, définies par les rela considérer tions α0 (x) = x et αk+1 (x) = αk α(x) pour k 0, et les produits βk (x) =
k
α j (x) (k ∈ N, x ∈ X ),
j=0
avec la convention supplémentaire β−1 (x) = 1. Comme α est continue sur X , les αk et les βk le sont également. La fonction de Brjuno est alors définie, pour tout x ∈ X , comme la somme, éventuellement égale à +∞, de la série à termes positifs (x) = βk−1 (x) ln 1/αk (x) . k0
Les points de convergence sont appelés nombres de Brjuno ; nous noterons B leur ensemble. La fonction et les nombres de Brjuno interviennent dans la théorie des systèmes dynamiques (cf. par exemple [2–4,6]). L’ensemble B est de mesure 1, et donc dense dans [0, 1].
B
Bruno Martin [email protected] Michel Balazard [email protected]
1
Aix Marseille Univ, CNRS, Centrale Marseille, I2M, Marseille, France
2
ULCO, LMPA, Calais, France
123
M. Balazard, B. Martin
L’ensemble B des nombres de Brjuno est stable par α. La fonction vérifie l’équation fonctionnelle (x) = ln(1/x) + x α(x) (x ∈ B), (1) et, plus généralement,
(x) = K (x) + β K (x) α K +1 (x) (K ∈ N, x ∈ B),
(2)
où K désigne la somme partielle K (x) =
K
βk−1 (x) ln 1/αk (x) .
k=0
Les fonctions K sont définies et continues sur X . Dans l’article [5], Rivoal émet plusieurs conjectures sur les valeurs extrémales de séries diophantiennes, dont certaines sont proches de la fonction de Brjuno. Le théorème suivant fournit la réponse à une question posée aux auteurs par Rivoal, concernant la fonction elle-même. √ Théorème Soit θ = ( 5 − 1)/2 = 0, 618 . . . le nombre d’or. Pour tout nombre de Brjuno x = θ , on a (x) > (θ ). La démonstration de ce théorème s’appuie sur cinq propositions auxiliaires. Proposition 1 Soit r un nombre rationnel, élément du segment [0, 1]. On a alors (x) → ∞ (x → r , x ∈ B). Démonstration On a (x) 0 (x) = ln 1/x, donc le résultat est vrai si r = 0. On a 1 (x) = ln 1/x + x α(x) (1/x − 1) (1/2 < x < 1), 2 donc le résultat est aussi vrai si r = 1. Si r est un nombre rationnel de ]0, 1[, écrivons r sous forme d’une fraction continue finie, r = [0; a1 , . . . , ak ] (k 1, a1 , . . . , ak ∈ N∗ , ak 2). L’application ϕ : t → [0; a1 , . . . , ak−1 , ak + t] est un homéomorphisme de ] − 1, 1[ sur un certain voisinage de r dans ]0, 1[. Pour t ∈ X , ce qui entraîne ϕ(±t) ∈ X , on a αk ϕ(t) = t; αk ϕ(−t) = 1 − t, et βk−1 ϕ(±t) e
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