Analyse asymptotique et couche limite
Le but du livre est de donner aux enseignants et aux étudiants (à partir de Bac+4) en mathématiques appliquées et en mécanique des fluides un outil d'enseignement et d'apprentissage illustré par cinquante problèmes accompagnés de leur correction détaillée
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I Équations de Navier-Stokes
On considère un écoulement incompressible de fluide newtonien dans lequel on néglige les forces de gravité. On suppose donc que les vitesses sont faibles par rapport à la célérité du son de sorte que le nombre de Mach est très petit devant l’unité. On suppose aussi que les variations de température sont très faibles devant la température caractéristique du fluide. Dans ces conditions, l’équation d’état est : = Cte. (I.1) La masse volumique est uniforme dans l’espace et ne varie pas dans le temps. Ainsi, pour un écoulement de gaz parfait, l’équation d’état sera bien (I.1) et non pas l’équation d’état des gaz parfaits. Avec l’hypothèse de fluide newtonien, les tensions visqueuses à l’intérieur de l’écoulement s’expriment par des relations linéaires en fonction des vitesses de déformation. En tenant compte de l’hypothèse d’incompressibilité, on a : ¯ τ¯ = 2µS,
(I.2)
où τ¯ est le tenseur des tensions visqueuses, S¯ est le tenseur des vitesses de déformation et µ est le coefficient de viscosité dynamique. On est amené à utiliser aussi le coefficient de viscosité cinématique ν : ν=
µ .
(I.3)
On suppose que les coefficients de viscosité µ et ν sont uniformes en espace. Dans un système d’axes orthonormé, l’expression des tensions visqueuses est : ∂ui ∂uj τij = µ + , (I.4) ∂xj ∂xi où ui représente la composante de vitesse suivant xi . Les équations de la mécanique des fluides se composent alors de l’équation de continuité ou équation de la conservation de la masse et de l’équation de quantité de mouvement qui exprime la deuxième loi de Newton [45, 78].
270
I Équations de Navier-Stokes
Sous forme tensorielle, les équations de la mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes) sont : div u = 0, du ¯ = div(τ¯ − pI), dt où
(I.5a) (I.5b)
d représente la dérivée particulaire, p la pression et I¯ le tenseur unité. dt Dans un repère orthonormé, ces équations deviennent : ∂ui = 0, ∂xi ∂ui ∂p ∂τij ∂ui + uj =− + . ∂t ∂xj ∂xi ∂xj
(I.6a) (I.6b)
Si l’écoulement est bidimensionnel, stationnaire, les équations sont : ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y ∂u ∂p ∂2u ∂2u ∂u + v =− +µ 2 +µ 2, u ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y 2 ∂v ∂p ∂ v ∂2v ∂v + v =− + µ 2 + µ 2, u ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
(I.7a) (I.7b) (I.7c)
où u et v sont les composantes de la vitesse suivant x et y. En choisissant une vitesse de référence Vr et une longueur de référence Lr , on pose : X=
x , Lr
Y =
y , Lr
U=
u , Vr
V =
v , Vr
P =
p , Vr2
et on définit le nombre de Reynolds R : R=
Vr Lr . µ
Sous forme adimensionnée, les équations de Navier-Stokes sont alors : ∂U + ∂X ∂U U +V ∂X ∂V U +V ∂X
∂V = 0, ∂Y ∂U ∂p 1 ∂2U 1 ∂2U =− + + , 2 ∂Y ∂X R ∂X R ∂Y 2 ∂V ∂p 1 ∂2V 1 ∂2V =− + + . ∂Y ∂Y R ∂X 2 R ∂Y 2
(I.8a) (I.8b) (I.8c)
II Éléments d’aérodynamique linéarisée en bidimensionnel
Les problèmes traités en aérodynamique linéarisée sont très voisins de ceux posés par la solution des équations du pont supérieur dans la théorie du triple pont. Il est donc utile d’en connaître quelques résultats. On suppose un écoulement non visqueux, bidimensionnel, incompressi
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