Arithmetik und Algebra
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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.
ERSTER B.AND:
ARITHMETIK UND ALGEBRA.
ENCYKLOPÄDIE DER
MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN. HERAUSGEGEBEN IM AUFTRAGE DER AKADEMIEEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN, SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.
ERSTER BAND IN ZWEI TEILEN.
ARirrHME1"IK UND ALGEBRA. REDIGIJm b=m a>b;
ab a>b"
2. Addition 10). Wenn man zwei Gruppen von Einheiten hat, und zwar so, dass nicht allein alle Einheiten jeder Gruppe gleichartig sind, sondern dass auch jede Einheit der einen Gruppe jeder Einheit der andem Gruppe gleichartig ist, so kann man zweierlei thun: entweder man kann jede Gruppe einzeln zählen und jedes der beiden Zähl-Ergebnisse als Zahl auffassen oder man kann die Zählung über beide Gruppen erstrecken und das Zähl-Ergebnis als Zahl auffassen. Im ersteren Falle erhält man zwei Zahlen, im letzteren Falle nur eine Zahl. Man sagt dann von dieser im 10) Der hier im Text vollzogene logisch genaue .Aufbau der vier fundamentalen Operationen der Arithmetik wurde am ausführlichsten von E. Sch!röder in seinem Lehrbuch (Leipzig 1878, Band I: Die sieben algebraischen Operationen) durchgeführt. Ausser ihm haben Verdienste um einen solchen Aufbau: 1) M. Ohm, Versuch eines vollkommen konsequenten Systems der Arithmetik (2 Bände, II. Auflage, Berlin 1829); 2) W. R. Hamilton, Preface zu den Lectures on Quaternions, Dublin 1868. 8) M. Cantor, Grundlage einer Elementararithmetik, Haideiberg 1866; 4) H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, Berlin 1861; 6) H. Hankel, Theorie der komplexen Zahlsysteme, Leipzig 1867 (Abschnitt I, II, III); 6) J. Bertrand, Traite d'arithmetique, 4. edition, Paris 1867; 7) R. Baltser, Die Elemente der Mathematik, I. Band, letzte (7.) Auflage, Leipzig 1886; 8) 0. Stolz, Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, Leipzig 1886. Eine Verbindung des konsequenten Aufbaues mit didaktischen Rücksichten auf Anfänger versuchte zuerst E. Sch!röder in seinem Abriss der Arithmetik und Algebra. I. Heft, Leipzig 1874, dann ausführlicher H. Schubert in seinen Lehrbüchern (Sammlung von arithmetischen und algebraischen Fragen und Aufgaben) vier Auflagen, Potadam 1888 bis 1896, System der Arithmetik, Potadam 1886, Arithmetik und Algebra in Sammlung Göschen (Leipzig 1896 und 1898). In früheren Jahrhunderten herrschte sogar noch Unklarheit darüber, welche Operationen als arithmetische Grund-Operationen zu betrachten sind, so um die Mitte des16. Jahrhunderts bei J. Regiomontanui, G. v. Peurbach, Lucius Pacioli und im Bamberger Rechenbuch. Peurbach's Algorithmus kennt z. B. acht Grund-Operationen, nämlich. Numeratio, Additio, Subtractio, Mediatio, Duplatio, Multiplicatio, Divisio, Progressio. Im Zusammenhang tnit allgemeimren Gesichtspunkten erscheinen die Ope~ rationen und Gesetze der Arithmetik in der formalen .Arithmetik. im Logikkalkül und in der Begriffsschrift. Die formale Arithmetik studiert die Beziehungen von Grössen, ohne Rücksicht darauf, dass diese Grössen Zahlen sind. Namentlich lese man hi!lrzu e
