Der Rayleigh-Quotient und das Ritzsche Verfahren
Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist hervorragend zur Entwicklung von Näherungsverfahren zur Eigenschwingungsberechnung geeignet. Wirklicher und virtueller Verschiebungszustand müssen hierzu durch geeignete Funktionen angenähert werden. Beim Brücke
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Der Rayleigh-Quotient und das Ritz’sche Verfahren
Das Prinzip der virtuellen Verrückungen ist hervorragend zur Entwicklung von Näherungsverfahren zur Eigenschwingungsberechnung geeignet. Wirklicher und virtueller Verschiebungszustand müssen hierzu durch geeignete Funktionen angenähert werden. Beim Brückenträger mit veränderlichem Querschnitt von Abb. 13.1 besteht z. B. die Möglichkeit, w.x/ Q durch die Eigenschwingungsformen eines Balkens mit konstanten Querschnittswerten zu approximieren. Die einfachste Möglichkeit, die unterste Eigenfrequenz !1 eines Tragwerks grob abzuschätzen oder die Ergebnisse aufwändigerer Rechnungen zu kontrollieren, bietet der Rayleigh-Quotient [1]. Er ergibt sich, wenn man im PdvV nur eine Ansatzfunktion berücksichtigt (Abschn. 13.1). Bei Berücksichtigung mehrerer Ansatzfunktionen kommt man zum Ritz’schen Verfahren [2, 3] (Abschn. 13.2).
13.1 Der Rayleigh-Quotient 13.1.1 Definition des Rayleigh-Quotienten Zur Angabe des Rayleigh-Quotienten gehen wir von (12.28) aus. Das Quadrat der 1. Eigenfrequenz lässt sich darstellen als Quotient aus der zur 1. Eigenform gehörenden generalisierten Steifigkeit und generalisierten Masse, beispielsweise für den Brückenträger von Abb. 13.1: !12 D
Rl B.x/'100 2 .x/dx s.'1 ; '1 / D R0 l : 2 m.'1 ; '1 / .x/' .x/dx 1 0
(13.1)
Zwar kennt man die erste Eigenform '1 .x/ noch nicht, man hat aber oft eine recht genaue Vorstellung davon, wie diese Eigenform aussieht. Wir wollen diese Näherung w1 nennen. Man erwartet, dass der Quotient aus generalisierter Steifigkeit und generalisierter Masse, der sogenannte Rayleigh-Quotient RŒw D
R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich, Strukturdynamik, DOI 10.1007/978-3-540-88977-9_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
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13 Der Rayleigh-Quotient und das Ritz’sche Verfahren
Abb. 13.1 Brückenträger mit veränderlichem Querschnitt. Verschiebungsansatz
s.w; w/=m.w; w/, eine gute Näherung für das Quadrat der 1. Eigenfrequenz ist und zwar umso besser, je genauer man mit w1 die 1. Eigenform trifft: !12 RŒw1 D
s.w1 ; w1 / : m.w1 ; w1 /
(13.2)
Ein einfaches Beispiel Unsere Erwartung überprüfen wir an einem ganz einfachen Beispiel, einem einseitig eingespannten, einseitig gelenkig gelagerten Balken konstanter Steifigkeit, für den die auf fünf Ziffern exakten Eigenfrequenzen bekannt sind. Mit den Ausdrücken für generalisierte Steifigkeit und Masse wird in diesem Fall aus (13.2) Rl B.w 00 /2 dx 2 : (13.3) !1 RŒw1 D 0R l 1 2 0 w1 dx Zur numerischen Auswertung benötigen wir Näherungen für die 1. Eigenform (Tab. 13.1). Im Fall a machen wir nur das Nötigste: Wir achten darauf, dass die geometrischen Randbedingungen eingehalten werden. Im Fall b geben wir uns mehr Mühe: In einer statischen Vorabrechnung bestimmen wir die Verschiebung w1b .x/ unter einer Belastung p.x/ D const:, wobei auch noch die Schnittkraftrandbedingungen eingehalten wird. Auf Vorfaktoren kommt es in beiden Fällen nicht an, da diese sich im Rayleigh-Quotienten herauskürzen. Die Ergebnisse (Tab. 13.1) zeigen, dass man auch bei der Eigenwertberechnun
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