Elementare Galois-Theorie Ein konstruktiver Zugang
Warum ist die Quadratur des Kreises, warum ist die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal unmöglich? Warum gibt es allgemeine Lösungsformeln für Polynomgleichungen vom Grad 2, 3 und 4, aber nicht für Grad 5 oder höher? Dieses Lehrbuch behandelt solche kl
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Elementare Galois-Theorie Ein konstruktiver Zugang
Elementare Galois-Theorie
Marc Nieper-Wißkirchen
Elementare Galois-Theorie Ein konstruktiver Zugang
Marc Nieper-Wißkirchen Lehrstuhl Algebra & Zahlentheorie University of Augsburg Augsburg, Deutschland
ISBN 978-3-662-60933-0 ISBN 978-3-662-60934-7 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-60934-7 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Iris Ruhmann Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany
Für Konrad, Karla und Irmgard
Vorwort
Die galoissche Theorie, welche mit einigem Recht sicherlich zu den Perlen der reinen Mathematik gezählt werden kann, nimmt eine zentrale Stellung in den Algebrakursen für Bachelor- oder Lehramtsstudenten in Mathematik ein. Ausgangspunkt ist die Frage, ob sich Lösungen von Polynomgleichungen mithilfe von Wurzelausdrücken beschreiben lassen können. Dazu werden Symmetrien zwischen den Lösungen einer solchen Gleichung untersucht. Es zeigt sich, dass aus diesen Symmetrien wesentliche Informationen über das Polynom erhalten werden können und dass diese insbesondere Antworten auf die ursprüngliche Frage nach der Auflösbarkeit durch Wurzeln geben. Der Stellenwert der galoisschen Theorie ist auch deswegen so hoch, weil sich aus ihr die drei wichtigsten Strukturen der Algebra entwickelt haben: Die Symmetrien der Lösungen einer Gleichung lassen sich zu einer Gruppe zusammenfassen. Die Koeffizienten der Polynomgleichungen nehmen Werte in einem Körper an, etwa den rationalen oder
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