Geometrie und Billard

Wie bewegt sich ein Massenpunkt in einem Gebiet, an dessen Rand er elastisch zurückprallt? Welchen Weg nimmt ein Lichtstrahl in einem Gebiet mit ideal reflektierenden Rändern? Anhand dieser und ähnlicher Fragen stellt das vorliegende Buch Zusammenhänge zw

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REPORT


Geometrie und Billard

Springer-Lehrbuch

Serge Tabachnikov

Geometrie und Billard

Serge Tabachnikov Pennsylvania State University Pennsylvania, USA Übersetzer Micaela Krieger-Hauwede Leipzig, Deutschland [email protected]

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-31924-2 DOI 10.1007/978-3-642-31925-9

ISBN 978-3-642-31925-9 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 37-02, 51-02; 49-02, 70-02, 78-02 Die Originalausgabe dieses Buches veröffentlichte die American Mathematical Society auf Englisch unter dem Titel „Geometry and Billiards“, © 2005 American Mathematical Society. Die vorliegende Übersetzung wurde für den Springer-Verlag mit Genehmigung der American Mathematical Society vorgenommen. Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Zeichnungen an den Kaptitelanfängen von Abigail Hauwede Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-spektrum.de

Vorwort

Mathematisches Billard beschreibt die Bewegung eines Massepunktes in einem Gebiet, an dessen Rand der Massepunkt elastisch reflektiert wird. Billard ist keine einzelne mathematische Disziplin; wie schon von Katok in [57] formuliert, ist Billard eher eine mathematische Spielwiese, auf der verschiedene Methoden getestet und verbessert werden. Als Thema ist Billard wirklich sehr popul¨ar: Im Januar 2005 ergab eine Suche nach Billard“ in der Datenbank MathSciNet u¨ ber 1 400 Treffer. ” Die Zahl der physikalischen Arbeiten, die sich mit dem Thema Billard befassen, d¨urfte a¨ hnlich hoch sein. ¨ Ublicherweise wird Billard im Rahmen der Theorie Dynamischer Systeme untersucht. Dieses Buch unterstreicht die Verbindungen zu Geometrie und Physik. Billard wird hier im Zusammenhang mit geometrischer Optik behandelt. Insbesondere wartet dieses Buch mit rund 100 Abbildungen auf. Es gibt etliche ¨ Ubersichtsartikel, die sich dem mathematischen Billard widmen. Die Spanne reicht von popul¨arwissenschaftlichen Artikeln bis hin zu mathematisch anspruchsvollen: [41, 43, 46, 57, 62, 65, 106]. Geweckt wurde mein Interesse an Billard durch das Buch von Sinai [101], das ich als S